Sabemos que a massa de uma arame fino e não flexível, de densidade
, e de formato curvilíneo é dada por
, onde
é a curva que descreve o formato do arame. Além disso, as coordenadas
e
do seu centro de massa são dadas por
e
. Nessas condições,
Sabendo que um arame tem a forma do semicírculo
e tem função de densidade
, determine o seu centro de massa.
Sabendo que um arame tem a forma do semicírculo
Passo 1
Mostramos que a massa m=π−2. Agora calculamos o numerador para \bar x:
Usando ∫cos t dt=sin t e ∫sin t cos t dt=½sin²t, cada termo avaliado de 0 a π dá zero. Logo
e portanto
[
\bar x=0.
\bar x=0.
Passo 2
Faltou o numerador para \bar y. Calculamos:
pois ∫_0^π sin t dt=2 e ∫_0^π sin²t dt=π/2. Assim
Resposta
O centro de massa é (\bar x,\bar y)=\Bigl(0,\frac{4-\pi}{2,(\pi-2)}\Bigr).