Sabemos que a massa de uma arame fino e não flexível, de densidade rho(x, y), e de formato curvilíneo é dada por m=integralC rho(x, y) d s, onde C é a curva que descreve o formato do arame. Além disso, as coordenadas x e y do seu centro de massa são dadas por barx=integralC x rho(x, y) d s e bary=integralC y rho(x, y) d s. Nessas condições,
Sabendo que um arame tem a forma do semicírculo x^2+y^2=1, y >= 0 e tem função de densidade rho(x, y)=1-y, determine o seu centro de massa.

Passo 1

Mostramos que a massa m=π−2. Agora calculamos o numerador para \bar x:
integralC x,rho,ds=integral0^picos t,(1-sin t),dt =integral0^picos t,dt-integral0^pisin tcos t,dt
Usando ∫cos t dt=sin t e ∫sin t cos t dt=½sin²t, cada termo avaliado de 0 a π dá zero. Logo
integralC x,rho,ds=0
e portanto
[
\bar x=0.

Passo 2

Faltou o numerador para \bar y. Calculamos:
integralC y,rho,ds=integral0^pisin t,(1-sin t),dt =integral0^pisin t,dt-integral0^pisin^2t,dt =2-pi2
pois ∫_0^π sin t dt=2 e ∫_0^π sin²t dt=π/2. Assim
bar y=2-pi2pi-2 =4-pi2, (pi-2)

Resposta

O centro de massa é (\bar x,\bar y)=\Bigl(0,\frac{4-\pi}{2,(\pi-2)}\Bigr).

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