Sabemos que a massa de uma arame fino e não flexível, de densidade rho(x, y), e de formato curvilíneo é dada por m=integralC rho(x, y) d s, onde C é a curva que descreve o formato do arame. Além disso, as coordenadas x e y do seu centro de massa são dadas por barx=integralC x rho(x, y) d s e bary=integralC y rho(x, y) d s. Nessas condições,
Sabendo que um arame tem a forma do semicírculo x^2+y^2=4, x >= 0 e tem função de densidade rho(x, y)=x, determine o seu centro de massa.

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa de um arame fino com formato de semicírculo de equação x^2+y^2=4, x>=0, densidade rho(x,y)=x. Vamos usar integrais de linha para massa e momentos: a massa é m=integralCrho,ds e o centro de massa satisfaz bar x=dfrac1mintegralC x,rho,ds, bar y=dfrac1mintegralC y,rho,ds.

Passo 2

Para aplicar as integrais de linha, parametrize o semicírculo pela variável tin[-tfracpi2,tfracpi2]:
x(t)=2cos t, y(t)=2sin t
A derivada dá
ds=raiz(x')^2+(y')^2,dt=raiz(-2sin t)^2+(2cos t)^2,dt=2,dt

Passo 3

Calcule a massa:
m=integralCrho,ds=integral-pi2^pi2x(t),ds=integral-pi2^pi2(2cos t)cdot2,dt =4integral-pi2^pi2cos t,dt =4[sin t]-pi2^pi2 =4(1-(-1))=8

Passo 4

Calcule o momento em x e bar x:
integralC x,rho,ds=integral-pi2^pi2(2cos t)(2cos t)cdot2,dt =8integral-pi2^pi2cos^2 t,dt =8cdotpi2=4pi
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bar x=1mintegralC x,rho,ds=4pi8=pi2

Passo 5

Calcule o momento em y e bar y:
integralC y,rho,ds=integral-pi2^pi2(2sin t)(2cos t)cdot2,dt =8integral-pi2^pi2sin tcos t,dt =4integral-pi2^pi2sin2t,dt=0
Então
bar y=1mintegralC y,rho,ds=0

Resposta

l(tfracpi2,0r)

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