Sabemos que a massa de uma arame fino e não flexível, de densidade
, e de formato curvilíneo é dada por
, onde
é a curva que descreve o formato do arame. Além disso, as coordenadas
e
do seu centro de massa são dadas por
e
. Nessas condições,
Sabendo que um arame tem a forma do semicírculo
e tem função de densidade
, determine o seu centro de massa.
Sabendo que um arame tem a forma do semicírculo
Passo 1
O enunciado pede o centro de massa de um arame fino com formato de semicírculo de equação
,
, densidade
. Vamos usar integrais de linha para massa e momentos: a massa é
e o centro de massa satisfaz
,
.
Passo 2
Para aplicar as integrais de linha, parametrize o semicírculo pela variável
:
A derivada dá
Passo 3
Calcule a massa:
Passo 4
Calcule o momento em
e
:
Logo
Passo 5
Calcule o momento em
e
:
Então