Calcule
onde C é a metade direita do círculo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral de linha
, onde
é a metade direita do círculo
. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais em curvas, usando a parametrização de curvas e entidades geométricas. Vamos precisar entender como parametrizar a curva
e calcular o diferencial de arco
.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. A equação dada é
. Para facilitar, vamos considerar uma parametrização simétrica usando um parâmetro
. Vamos definir:
No entanto, para simplificar, usaremos uma parametrização mais comum:
onde
varia de
a
para cobrir a metade direita da curva.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o diferencial de arco
. Para isso, usamos:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 4
Substituindo a parametrização e o
na integral, temos:
Vamos simplificar os termos:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral
. Vamos usar uma substituição simples:
Seja , então
. Assim, a integral se transforma em:
Seja
Agora, aplicando os limites de
a
:
Passo 6
Voltando à nossa integral original:
Resposta
O valor da integral
é
.