Calcule integralC x y^4 d s onde C é a metade direita do círculo x^4+y^4=16.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral de linha integralC x y^4 , d s, onde C é a metade direita do círculo x^4 + y^4 = 16. Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais em curvas, usando a parametrização de curvas e entidades geométricas. Vamos precisar entender como parametrizar a curva C e calcular o diferencial de arco d s.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva C. A equação dada é x^4 + y^4 = 16. Para facilitar, vamos considerar uma parametrização simétrica usando um parâmetro theta. Vamos definir:
x = 2 cos^12 theta
y = 2 sin^12 theta
No entanto, para simplificar, usaremos uma parametrização mais comum:
x = 2 cos t
y = 2 sin t
onde t varia de -pi2 a pi2 para cobrir a metade direita da curva.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o diferencial de arco d s. Para isso, usamos:
d s = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Calculando as derivadas:
dxdt = -2 sin t
dydt = 2 cos t
Então:
d s = raiz(-2 sin t)^2 + (2 cos t)^2 , dt = raiz4 sin^2 t + 4 cos^2 t , dt = raiz4 (sin^2 t + cos^2 t) , dt = raiz4 cdot 1 , dt = 2 , dt

Passo 4

Substituindo a parametrização e o d s na integral, temos:
integralC x y^4 , d s = integral-pi2^pi2 (2 cos t) cdot (2 sin t)^4 cdot 2 , dt
Vamos simplificar os termos:
(2 sin t)^4 = 16 sin^4 t
Então, a integral fica:
integral-pi2^pi2 2 cos t cdot 16 sin^4 t cdot 2 , dt = 64 integral-pi2^pi2 cos t sin^4 t , dt

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral integral cos t sin^4 t , dt. Vamos usar uma substituição simples:
Seja u = sin t, então du = cos t , dt. Assim, a integral se transforma em:
integral u^4 , du = u^55 + C = sin^5 t5 + C
Agora, aplicando os limites de -pi2 a pi2:
[ sin^5 t5 ]-pi2^pi2 = sin^5(pi2)5 - sin^5(-pi2)5 = 15 - (-15) = 25

Passo 6

Voltando à nossa integral original:
64 integral-pi2^pi2 cos t sin^4 t , dt = 64 cdot 25 = 1285

Resposta

O valor da integral integralC x y^4 , d s é 1285.

Exercícios relacionados