Questão 10. Resolva as integrais usando a substituição de variável:
integral cot (exp (x)) exp (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral cot(exp(x)),exp(x),dx usando substituição de variável. O conteúdo é cálculo de primitiva por substituição, e vamos precisar reconhecer que exp(x) e sua derivada aparecem dentro da integral.

Passo 2

Fazendo a substituição u = exp(x). Então derivando ambos os lados, temos:
du = exp(x),dx
Isso transforma exp(x),dx diretamente em du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
integral cot(exp(x)),exp(x),dx = integral cot(u),du
Agora usamos a primitiva conhecida
integral cot(u),du = lnl|sin(u)r| + C,
pois cot(u) = cos(u)sin(u) e a derivada de sin(u) é cos(u).

Passo 4

Voltando à variável original x, substituímos u = exp(x) na primitiva:
lnl|sin(u)r| + C = lnl|sin(exp(x))r| + C

Resposta

lnl|sin(exp(x))r| + C

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