Calcule integralC y^2 d x+x^2 d y, onde C é a metade superior da elipse de equação x^2a^2+y^2b^2=1, percorrida no sentido horário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que temos aqui é o cálculo de integralC y^2 dx + x^2 dy, onde C é a metade superior de uma elipse dada por x^2a^2 + y^2b^2 = 1 e percorremos essa curva no sentido horário.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região que está no interior da curva C. Mas antes, precisamos ver se o sentido da nossa curva está alinhado com o que o teorema espera.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada C no plano, orientada positivamente (sentido anti-horário), a integral de linha de M dx + N dy é igual à integral dupla de ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) sobre a região D delimitada por C. Em fórmula:
ointC M dx + N dy = integral duplaD ( partial Npartial x - partial Mpartial y ) dA
No nosso caso, M = y^2 e N = x^2.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Npartial x = partialpartial x (x^2) = 2x
partial Mpartial y = partialpartial y (y^2) = 2y
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
partial Npartial x - partial Mpartial y = 2x - 2y

Passo 4

Agora, como o Teorema de Green assume que a curva C está orientada no sentido anti-horário, mas no nosso problema ela está no sentido horário, precisamos ajustar o sinal da integral. Ou seja, a integral original será o negativo da integral que o Teorema de Green nos dá.
Então, nossa integral passa a ser:
integralC y^2 dx + x^2 dy = - integral duplaD (2x - 2y) dA

Passo 5

Vamos entender a região D. É a metade superior da elipse x^2a^2 + y^2b^2 = 1. Para facilitar a integração, podemos mudar para coordenadas elípticas ou usar simetria. Entretanto, como a integral envolve termos x e y, vamos proceder diretamente.
Primeiro, note que a elipse inteira tem área pi a b, então a metade superior tem área pi a b2.
Mas precisamos integrar 2x - 2y sobre D:
integral duplaD (2x - 2y) dA = 2 integral duplaD x , dA - 2 integral duplaD y , dA
Agora, por simetria:
  • A integral de x sobre a metade superior da elipse é zero, porque para cada ponto x, existe -x que cancela.
  • A integral de y sobre a metade superior da elipse não é zero.
Então:
2 integral duplaD x , dA = 0
-2 integral duplaD y , dA = -2 times 23 a b^2
Onde integral duplaD y , dA = 23 a b^2 é a integral do primeiro momento em relação ao eixo x para a metade superior da elipse.

Passo 6

Substituindo de volta na nossa expressão:
integralC y^2 dx + x^2 dy = - (0 - 2 times 23 a b^2) = - ( - 43 a b^2 ) = 43 a b^2

Resposta

A integral vale 43,a,b^2.

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