Calcule
, onde
é a metade superior da elipse de equação
, percorrida no sentido horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! O que temos aqui é o cálculo de
, onde
é a metade superior de uma elipse dada por
e percorremos essa curva no sentido horário.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que conecta integrais de linha com integrais duplas sobre a região que está no interior da curva
. Mas antes, precisamos ver se o sentido da nossa curva está alinhado com o que o teorema espera.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
no plano, orientada positivamente (sentido anti-horário), a integral de linha de
é igual à integral dupla de
sobre a região
delimitada por
. Em fórmula:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Então, a expressão dentro da integral dupla fica:
Passo 4
Agora, como o Teorema de Green assume que a curva
está orientada no sentido anti-horário, mas no nosso problema ela está no sentido horário, precisamos ajustar o sinal da integral. Ou seja, a integral original será o negativo da integral que o Teorema de Green nos dá.
Então, nossa integral passa a ser:
Passo 5
Vamos entender a região
. É a metade superior da elipse
. Para facilitar a integração, podemos mudar para coordenadas elípticas ou usar simetria. Entretanto, como a integral envolve termos
e
, vamos proceder diretamente.
Primeiro, note que a elipse inteira tem área
, então a metade superior tem área
.
Mas precisamos integrar
sobre
:
Agora, por simetria:
- A integral de
sobre a metade superior da elipse é zero, porque para cada ponto , existe que cancela. - A integral de
sobre a metade superior da elipse não é zero.
Então:
Onde
é a integral do primeiro momento em relação ao eixo
para a metade superior da elipse.
Passo 6
Substituindo de volta na nossa expressão:
Resposta
A integral vale
.