Encontre uma função potencial para a função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função potencial para a função vetorial dada:
Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais conservativos na matéria de Cálculo Vetorial. Para encontrar a função potencial, vamos precisar integrar componentes da função vetorial e garantir que tudo se encaixe direitinho.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma função potencial $ f(x, y) $ para o campo vetorial $ F(x, y) = (P, Q) $ satisfaz:
No nosso caso:
Vamos começar integrando $ P $ em relação a $ x $ para encontrar uma expressão para $ f(x, y) $.
Passo 3
Integrando $ P $ em relação a $ x $:
Como $ y $ é tratado como constante na integração em relação a $ x $, temos:
Onde $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $ e surge como constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda condição $ \frac{\partial f}{\partial y} = Q $ para encontrar $ g(y) $.
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial f}{\partial y} $ a partir da expressão que encontramos:
Derivando em relação a $ y $:
Sabemos que isso deve ser igual a $ Q = 2x^{2} y - 3x y^{2} + 2 $. Portanto:
Simplificando, vemos que:
Passo 5
Agora, integramos $ g’(y) $ para encontrar $ g(y) $:
Onde $ C $ é uma constante arbitrária. Podemos ignorar $ C $ na função potencial, pois estamos interessados em uma função específica.
Resposta
A função potencial para $ F(x, y) $ é: