Calcule
, onde
é a metade superior da elipse de equação
, percorrida no sentido horário.
Sem utilizar o teorema de Green
R:
Sem utilizar o teorema de Green
R:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde
é a metade superior da elipse dada por
, percorrida no sentido horário. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a elipse e usar essas parametrizações na integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a metade superior da elipse. A elipse completa pode ser parametrizada por:
onde
varia de
a
. Mas como queremos apenas a metade superior,
, então
vai de
a
.
Passo 3
Como a parámetrização padrão percorre a elipse no sentido anti-horário, mas a questão pede no sentido horário, vamos inverter o sentido. Para isso, podemos usar:
com
indo de
a
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
,
,
e
na integral original:
Passo 6
Simplificamos a integral:
Podemos trocar os limites de integração para ficar mais fácil:
Passo 7
Sabemos que funções ímpares como
integradas de
a
dão o mesmo que de
a
, mas com sinal invertido. Já funções pares como
têm simetria. Assim, podemos reescrever:
Porque a integral de
de
a
é
e a de
de
a
é
.
Passo 8
Finalmente, calculamos:
Como a orientação foi no sentido horário, o resultado negativo indica isso. Porém, geralmente consideramos o valor absoluto para representar a magnitude da integral.