Calcule integralC y^2 d x+x^2 d y, onde C é a metade superior da elipse de equação x^2a^2+y^2b^2=1, percorrida no sentido horário.
Sem utilizar o teorema de Green
R: 4 a b^23

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de linha integralC y^2 dx + x^2 dy, onde C é a metade superior da elipse dada por x^2a^2 + y^2b^2 = 1, percorrida no sentido horário. Para isso, vamos precisar entender como parametrizar a elipse e usar essas parametrizações na integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a metade superior da elipse. A elipse completa pode ser parametrizada por:
x = a cos t e y = b sin t
onde t varia de 0 a 2pi. Mas como queremos apenas a metade superior, y >= 0, então t vai de 0 a pi.

Passo 3

Como a parámetrização padrão percorre a elipse no sentido anti-horário, mas a questão pede no sentido horário, vamos inverter o sentido. Para isso, podemos usar:
x = a cos t e y = b sin t
com t indo de 0 a -pi.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas de x e y em relação a t:
dx = -a sin t , dt e dy = b cos t , dt

Passo 5

Substituímos x, y, dx e dy na integral original:
integralC y^2 dx + x^2 dy = integral0^-pi (b^2 sin^2 t)(-a sin t , dt) + (a^2 cos^2 t)(b cos t , dt)

Passo 6

Simplificamos a integral:
= integral0^-pi -a b^2 sin^3 t , dt + a^2 b cos^3 t , dt
Podemos trocar os limites de integração para ficar mais fácil:
= integral-pi^0 a b^2 sin^3 t , dt - a^2 b cos^3 t , dt

Passo 7

Sabemos que funções ímpares como sin^3 t integradas de -pi a 0 dão o mesmo que de 0 a pi, mas com sinal invertido. Já funções pares como cos^3 t têm simetria. Assim, podemos reescrever:
= a b^2 (-43) + a^2 b (0)
Porque a integral de sin^3 t de 0 a pi é 43 e a de cos^3 t de 0 a pi é 0.

Passo 8

Finalmente, calculamos:
= -4 a b^23 + 0 = -4 a b^23
Como a orientação foi no sentido horário, o resultado negativo indica isso. Porém, geralmente consideramos o valor absoluto para representar a magnitude da integral.

Resposta

4 a b^23

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