Calcule 
 , onde 
  é a parte da circunferência 
  percorrida no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral 
 , onde 
  é a parte da circunferência 
  com 
  percorrida no sentido anti-horário. Isso envolve cálculo de integrais de linha, que é um tópico de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar parametrizar a curva 
  e expressar a integral em termos de um parâmetro, geralmente usando ângulos para circunferências.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência 
 . Sabemos que essa é uma circunferência de raio 2 centrada na origem. Podemos usar a parametrização trigonométrica:
Como queremos apenas a parte da circunferência onde 
 , isso corresponde aos ângulos 
  de 
  a 
  (180 graus).
Passo 3
Agora, precisamos expressar 
 , que representa um elemento de comprimento ao longo da curva. Para uma parametrização em termos de 
 , temos:
Vamos calcular 
  e 
 :
Então,
Passo 4
Agora, substituímos 
 , 
  e 
  na integral original:
Vamos simplificar os termos:
Então,
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral 
 .
Podemos usar a substituição 
 , então 
 .
Alterando os limites de integração:
- Quando 
,  - Quando 
,  
Então, a integral fica:
Resposta
A integral 
  é igual a 0.