2 Calcule integralC(x+y) d s, onde C é o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e(-1,1). Resp. 2+raiz2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de uma função escalar
f(x,y)=x+y
ao longo do contorno C de um triângulo de vértices (0,0), (1,1) e (-1,1). O conteúdo é integral de linha de função escalar, em que usamos
integralCf(x,y),ds=sumi=1^3integralCifl(x(t),y(t)r),l|ri'(t)r|,dt,
onde dividimos C em três segmentos C1,C2,C3.

Passo 2

Parametrizamos cada aresta:
Para C1 de (0,0) a (1,1), tomamos
r1(t)=(t,t), tin[0,1]
Então
r1'(t)=(1,1), l|r1'(t)r|=raiz2,
e
fl(r1(t)r)=t+t=2t
Logo
integralC1(x+y),ds =integral0^12t;raiz2,dt =raiz2integral0^12t,dt =raiz2l[t^2r]0^1 =raiz2

Passo 3

Para C2 de (1,1) a (-1,1), usamos
r2(t)=(1-2t,,1), tin[0,1]
Então
r2'(t)=(-2,0), l|r2'(t)r|=2,
e
fl(r2(t)r)=(1-2t)+1=2-2t
Assim
integralC2(x+y),ds =integral0^1(2-2t);2,dt =2integral0^1(2-2t),dt =2l[2t - t^2r]0^1 =2(2-1) =2

Passo 4

Para C3 de (-1,1) a (0,0), escolhemos
r3(t)=(-1+t,;1-t), tin[0,1]
r3'(t)=(1,-1), l|r3'(t)r|=raiz2,
e
fl(r3(t)r)=(-1+t)+(1-t)=0
Logo
integralC3(x+y),ds =integral0^10cdotraiz2,dt=0

Passo 5

Somando as contribuições de cada aresta:
integralC(x+y),ds =integralC1+integralC2+integralC3 =raiz2+2+0 =2+raiz2

Resposta

2+raiz2

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