Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem, justificando convenientemente:
sumn=1^infty 7^n+3n^3 n

Passo 1

O enunciado pede verificar se a série
sumn=1^infty 7^n+3n^3n
converge ou diverge. O conteúdo é testes de convergência de séries numéricas, e vamos usar o teste da raiz n-ésima.

Passo 2

Denote por an = 7^n+3n^3n. O teste da raiz diz para calcularmos
raiz[n]|an| = raiz[n]7^n+3raiz[n]n^3n = 7^1 + tfrac3nn^3

Passo 3

Agora analisamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty 7^1 + tfrac3nn^3 = 7^1limntoinftyn^3 = 7infty = 0
Como esse limite L=0 é estritamente menor que 1, o teste da raiz garante convergência absoluta.

Passo 4

Concluímos que a série converge absolutamente, logo converge.

Resposta

A série converge absolutamente (pela aplicação do teste da raiz n-ésima, pois o limite deu 0<1).

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