Calcule integralC F d r, em que F(x, y, z)=-y^2 i+x j+z^2 k e C (orientada positivamente) é a interseção do plano y+z=2 com o cilindro x^2+y^2=1. Faça um esboço da região. Lembre que você deve citar qual é o teorema que está sendo utilizado. stookes

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde o campo vetorial é F(x, y, z) = -y^2 i + x j + z^2 k. A curva C é a interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1, e está orientada positivamente. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para transformar integrais de linha em integrais de superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Stokes. Ele nos permite converter uma integral de linha ao longo de uma curva fechada C em uma integral de superfície sobre uma superfície S que tem C como sua borda. A fórmula é:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
onde nabla times F é o rotacional de F e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F. O rotacional é dado por:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z -Fx & Fy & Fz
Substituindo F(x, y, z) = -y^2 i + x j + z^2 k:
nabla times F = ( partial z^2partial y - partial xpartial z ) i - ( partial z^2partial x - partial (-y^2)partial z ) j + ( partial xpartial x - partial (-y^2)partial y ) k
Calculando as derivadas:
  • partial z^2partial y = 0, partial xpartial z = 0
  • partial z^2partial x = 0, partial (-y^2)partial z = 0
  • partial xpartial x = 1, partial (-y^2)partial y = -2y
Então:
nabla times F = (0 - 0) i - (0 - 0) j + (1 - (-2y)) k = (1 + 2y) k

Passo 4

Agora, precisamos definir a superfície S. Como C é a interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1, podemos escolher S como a parte do plano y + z = 2 dentro do cilindro. Para parametrizar essa superfície, podemos resolver o plano para z:
z = 2 - y
Então, os parâmetros serão x e y, sujeitos à condição x^2 + y^2 <= 1.

Passo 5

Precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Como S está no plano y + z = 2, o vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano, que são 0i + 1j + 1k. Para ter um vetor normal unitário, normalizamos:
n = 0i + 1j + 1kraiz0^2 + 1^2 + 1^2 = j + kraiz2

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (1 + 2y) k cdot j + kraiz2 , dS = integral duplaS 1 + 2yraiz2 , dS
Como estamos integrando sobre o plano, dS pode ser expresso em termos de dx , dy. A região de integração é o interior do cilindro x^2 + y^2 = 1.

Passo 7

Convertendo para coordenadas polares para facilitar a integração, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e r varia de 0 a 1, enquanto theta varia de 0 a 2pi. O diferencial de área em coordenadas polares é r , dr , dtheta. Substituindo na integral:
integralC F cdot dr = integral0^2pi integral0^1 1 + 2(rsintheta)raiz2 , r , dr , dtheta

Passo 8

Vamos resolver a integral dupla:
1raiz2 integral0^2pi integral0^1 (1 + 2rsintheta) r , dr , dtheta = 1raiz2 [ integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta + 2 integral0^2pi integral0^1 r^2 sintheta , dr , dtheta ]
Calculando cada parte:
  1. integral0^1 r , dr = 12
  2. integral0^2pi sintheta , dtheta = 0 (pois é uma função ímpar no intervalo completo)
Portanto:
1raiz2 [ integral0^2pi 12 , dtheta + 2 cdot 0 ] = 1raiz2 cdot 12 cdot 2pi = piraiz2

Resposta

A integral de linha integralC F cdot dr vale dfracpiraiz2.

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