Calcule , em que e (orientada positivamente) é a interseção do plano com o cilindro . Faça um esboço da região. Lembre que você deve citar qual é o teorema que está sendo utilizado. stookes
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de linha , onde o campo vetorial é . A curva é a interseção do plano com o cilindro , e está orientada positivamente. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que é uma ferramenta poderosa em cálculo vetorial para transformar integrais de linha em integrais de superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Stokes. Ele nos permite converter uma integral de linha ao longo de uma curva fechada em uma integral de superfície sobre uma superfície que tem como sua borda. A fórmula é:
onde é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de . O rotacional é dado por:
Substituindo F(x, y, z) = -y^2 i + x j + z^2 k:
nabla times F = ( partial z^2partial y - partial xpartial z ) i - ( partial z^2partial x - partial (-y^2)partial z ) j + ( partial xpartial x - partial (-y^2)partial y ) k
Calculando as derivadas:
partial z^2partial y = 0, partial xpartial z = 0
partial z^2partial x = 0, partial (-y^2)partial z = 0
partial xpartial x = 1, partial (-y^2)partial y = -2y
Então:
nabla times F = (0 - 0) i - (0 - 0) j + (1 - (-2y)) k = (1 + 2y) k
Passo 4
Agora, precisamos definir a superfície S. Como C é a interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x^2 + y^2 = 1, podemos escolher S como a parte do plano y + z = 2 dentro do cilindro. Para parametrizar essa superfície, podemos resolver o plano para z:
z = 2 - y
Então, os parâmetros serão x e y, sujeitos à condição x^2 + y^2 <= 1.
Passo 5
Precisamos encontrar o vetor normal n à superfície S. Como S está no plano y + z = 2, o vetor normal pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano, que são 0i + 1j + 1k. Para ter um vetor normal unitário, normalizamos:
n = 0i + 1j + 1kraiz0^2 + 1^2 + 1^2 = j + kraiz2
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema de Stokes, temos:
integralC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (1 + 2y) k cdot j + kraiz2 , dS = integral duplaS 1 + 2yraiz2 , dS
Como estamos integrando sobre o plano, dS pode ser expresso em termos de dx , dy. A região de integração é o interior do cilindro x^2 + y^2 = 1.
Passo 7
Convertendo para coordenadas polares para facilitar a integração, onde x = rcostheta, y = rsintheta, e r varia de 0 a 1, enquanto theta varia de 0 a 2pi. O diferencial de área em coordenadas polares é r , dr , dtheta. Substituindo na integral:
integralC F cdot dr = integral0^2pi integral0^1 1 + 2(rsintheta)raiz2 , r , dr , dtheta
Passo 8
Vamos resolver a integral dupla:
1raiz2 integral0^2pi integral0^1 (1 + 2rsintheta) r , dr , dtheta = 1raiz2 [ integral0^2pi integral0^1 r , dr , dtheta + 2 integral0^2pi integral0^1 r^2 sintheta , dr , dtheta ]
Calculando cada parte:
integral0^1 r , dr = 12
integral0^2pi sintheta , dtheta = 0 (pois é uma função ímpar no intervalo completo)