Escreva a expressão na forma reduzida:
8 z^3-12 z^2+5 z-3

Passo 1

Temos a expressão 8z^3-12z^2+5z-3. O conteúdo aqui é fatoração de polinômios: vamos usar a diferença de cubos para o numerador e a fatoração de uma quadrática para o denominador, para depois simplificar.

Passo 2

A diferença de cubos diz que, para quaisquer a e b, vale:
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + a b + b^2)
Aqui temos 8z^3 - 1 = (2z)^3 - 1^3. Aplicando a fórmula com a = 2z e b = 1, obtemos:
8z^3 - 1 = (2z - 1),( (2z)^2 + (2z)cdot1 + 1^2 ) = (2z - 1)(4z^2 + 2z + 1)

Passo 3

Para fatorar o denominador 2z^2 + 5z - 3, calculamos o discriminante:
De
As raízes são
z = -5 pm raiz492cdot2 = -5 pm 74,
o que dá z = tfrac12 e z = -3. Logo podemos escrever
2z^2 + 5z - 3 = 2,(z - tfrac12)(z + 3) = (2z - 1)(z + 3)

Passo 4

Na fração original surge o fator comum 2z - 1 no numerador e no denominador. Podemos, então, cancelá-lo (desde que 2z - 1neq 0, ou seja, zneq tfrac12):
(2z - 1)(4z^2 + 2z + 1)(2z - 1)(z + 3) = 4z^2 + 2z + 1z + 3

Passo 5

Esse é o resultado na forma reduzida, válida para z neq tfrac12 e z neq -3, que são as restrições de existência.

Resposta

4z^2 + 2z + 1z + 3

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