Calcule integralC raiz[3]x d x+11+y^2 d y, onde C é a fronteira do quadrado de vértices A0=(1,1), A1=(-1,1), A2=(-1,-1) e A3=(1,-1), orientada de A0 para A3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC raiz[3]x , dx + 11+y^2 , dy, onde C é o contorno de um quadrado com vértices em A0=(1,1), A1=(-1,1), A2=(-1,-1) e A3=(1,-1). Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área limitada pela curva.

Passo 2

Primeiro, identificamos as funções P(x, y) = raiz[3]x e Q(x, y) = 11+y^2. O Teorema de Green diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde D é a área dentro do quadrado.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais:
  • partial Qpartial x = partialpartial x ( 11+y^2 ) = 0, porque Q não depende de x.
  • partial Ppartial y = partialpartial y ( raiz[3]x ) = 0, porque P não depende de y.

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD ( 0 - 0 ) dA = 0
Então, a integral dupla é igual a zero.

Resposta

A integral integralC raiz[3]x , dx + 11+y^2 , dy é igual a 0.

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