Determine os extremos relativos de f, se houver algum.
f(x, y)=18 x^2-32 y^2-36 x-128 y-110

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a função f(x,y)=18x^2-32y^2-36x-128y-110. Para encontrar extremos relativos de uma função de duas variáveis, vamos achar o ponto crítico (onde o gradiente é zero) e usar a Hessiana para classificar.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
  • partial fpartial x=36x-36
  • partial fpartial y=-64y-128
    Igualando a zero, obtemos 36x-36=0implies x=1 e -64y-128=0implies y=-2. Logo, o ponto crítico é (1,-2).

Passo 3

A Hessiana, matriz das segundas derivadas, é constante:
H=36 & 00 & -64

Passo 4

Calculamos os principais menores: D1=36>0 e D2=det(H)=36cdot(-64)=-2304<0. Como D2<0, a Hessiana é indefinida e o ponto crítico (1,-2) é um ponto de sela.

Resposta

A função não possui extremos relativos; ela apresenta apenas um ponto de sela em (1,-2).

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