Suponha que a função receita seja
e a função custo seja
-
.
Obtenha a quantidade
que deve ser vendida para maximizar o lucro.
Mostre que, para o resultado obtido acima, o custo marginal é igual à receita marginal.
Obtenha a quantidade
Mostre que, para o resultado obtido acima, o custo marginal é igual à receita marginal.
Passo 1
O enunciado da questão dá a função receita e a função de custo: temos receita
e custo
. O conteúdo é otimização de funções usando derivadas, e vamos precisar definir a função lucro e também as derivadas para encontrar o máximo e depois comparar custo marginal e receita marginal.
Passo 2
Definimos a função lucro
como a diferença entre receita e custo:
Passo 3
Para achar o máximo, calculamos a derivada de
e igualamos a zero:
Passo 4
Resolvendo
temos:
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Passo 5
Como queremos quantidade não negativa, escolhemos a solução positiva:
Passo 6
Para verificar que isso de fato é máximo, calculamos a segunda derivada:
Passo 7
Em
,
, garantindo máximo local.
Passo 8
O custo marginal (CM) é a derivada de
e a receita marginal (RM) é a derivada de
:
Passo 9
No ponto ótimo temos
mostrando que o custo marginal coincide com a receita marginal em
.