Suponha que a função receita seja R(x)=60 x e a função custo seja C(x)=2 x^3-12 x^2+ - 50 x+40.
Obtenha a quantidade x que deve ser vendida para maximizar o lucro.
Mostre que, para o resultado obtido acima, o custo marginal é igual à receita marginal.

Passo 1

O enunciado da questão dá a função receita e a função de custo: temos receita R(x)=60x e custo C(x)=2x^3 - 12x^2 - 50x + 40. O conteúdo é otimização de funções usando derivadas, e vamos precisar definir a função lucro e também as derivadas para encontrar o máximo e depois comparar custo marginal e receita marginal.

Passo 2

Definimos a função lucro pi(x) como a diferença entre receita e custo:
pi(x)=R(x)-C(x)=60x - l(2x^3 -12x^2 -50x +40r)= -2x^3 +12x^2 +110x -40,

Passo 3

Para achar o máximo, calculamos a derivada de pi(x) e igualamos a zero:
pi'(x)=ddx(-2x^3 +12x^2 +110x -40)=-6x^2 +24x +110

Passo 4

Resolvendo pi'(x)=0 temos:
-6x^2 +24x +110=0
6x^2 -24x -110=0
Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x=24 pm raiz(-24)^2 -4cdot6cdot(-110)2cdot6=24 pm raiz576+264012=24 pm 4raiz20112=6 pm raiz2013

Passo 5

Como queremos quantidade não negativa, escolhemos a solução positiva:
x0=6 + raiz2013

Passo 6

Para verificar que isso de fato é máximo, calculamos a segunda derivada:
pi''(x)=ddx(-6x^2 +24x +110)=-12x+24

Passo 7

Em x0, pi''(x0)=-12x0+24<0, garantindo máximo local.

Passo 8

O custo marginal (CM) é a derivada de C(x) e a receita marginal (RM) é a derivada de R(x):
C'(x)=6x^2 -24x -50,

Passo 9

R'(x)=60
No ponto ótimo temos pi'(x0)=R'(x0)-C'(x0)=0, ou seja
C'(x0)=R'(x0)=60,
mostrando que o custo marginal coincide com a receita marginal em x0.

Resposta

x=6+raiz2013

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