Calcule integralC-2 y d x+3 z d y+x d z, sendo C a interseção das superfícies x^2+4 y^2=1 e x^2+z^2=1, com y >= 0 e z >= 0, percorrida uma vez do ponto (1,0,0) ao ponto (1,0,0).

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha I = integralC -2y,dx + 3z,dy + x,dz usando o Teorema de Stokes. O conteúdo principal é cálculo vetorial: precisamos da forma F=(-2y,3z,x), do rotor nablatimesF e de uma superfície S cujo contorno seja o caminho C.

Passo 2

Primeiro, achamos o rotor de F. Como F=(P,Q,R) com P=-2y, Q=3z, R=x, temos
nablatimesF = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,;partial Ppartial z-partial Rpartial x,;partial Qpartial x-partial Ppartial yr) = (-3,-1,2)

Passo 3

Em seguida, escolhemos como superfície S o pedaço do cilindro x^2+4y^2=1 com y>=0 e 0<= z<=raiz1-x^2. Parâmetrizamos por
r(alpha,z) = (cosalpha,tfrac12sinalpha, z), 0<=alpha<=pi,;0<= z<=sinalpha

Passo 4

Calculamos o vetor normal através de ralphatimesrz=(tfrac12cosalpha,sinalpha,0). Então
integral duplaS (nablatimesF)cdot dS = integral0^piintegral0^sinalpha (-3,-1,2)cdot(tfrac12cosalpha,sinalpha,0),dz,dalpha = integral0^pi [-(tfrac32cosalpha)-sinalpha], sinalpha,dalpha = -tfracpi2

Passo 5

O contorno partial S é a união de três curvas orientadas: C, mais duas curvas-aresta em z=0 e y=0. Chamamos de L1 o arco em z=0 (a meia-elipse x^2+4y^2=1, y>=0) e de L2 o arco em y=0 (a meia-circunferência x^2+z^2=1, z>=0).

Passo 6

Calculamos diretamente
integralL1 Fcdot dr = pi2,
e
integralL2 Fcdot dr = -pi2

Passo 7

Pelo Teorema de Stokes,
integral duplaS (nablatimesF)cdot dS = integralpartial SFcdot dr = integralCFcdot dr + integralL1Fcdot dr + integralL2Fcdot dr
Assim
integralC -2y,dx + 3z,dy + x,dz = -tfracpi2 - l(tfracpi2 - tfracpi2r) = -pi2

Resposta

-\frac{\pi}{2}

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