Calcule
, sendo C a interseção das superfícies
e
,
, percorrida uma vez do ponto
ao ponto
.
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. O conteúdo principal é cálculo vetorial: precisamos da forma
, do rotor
e de uma superfície
cujo contorno seja o caminho
.
Passo 2
Primeiro, achamos o rotor de
. Como
com
, temos
Passo 3
Em seguida, escolhemos como superfície
o pedaço do cilindro
com
e
. Parâmetrizamos por
Passo 4
Calculamos o vetor normal através de
. Então
Passo 5
O contorno
é a união de três curvas orientadas:
, mais duas curvas-aresta em
e
. Chamamos de
o arco em
(a meia-elipse
) e de
o arco em
(a meia-circunferência
).
Passo 6
Calculamos diretamente
e
Passo 7
Pelo Teorema de Stokes,
Assim
Resposta
-\frac{\pi}{2}