Calcule integralC x cos (y z) d s, onde C consiste no segmento de reta de (0,0,0) a (1,2,3).

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a integral de linha com respeito ao comprimento de arco integralC xcos(yz),ds, onde o caminho C é o segmento de reta de (0,0,0) até (1,2,3). O conteúdo envolvido é integral de linha do tipo integralC f(x,y,z),ds, e vamos precisar parametrizar a curva e usar ds=|r'(t)|dt.

Passo 2

Parametrização de C e cálculo de ds: escolhemos r(t)=(t,2t,3t) para tin[0,1]. Assim,
r'(t)=(1,2,3),
e
|r'(t)|=raiz1^2+2^2+3^2=raiz14,
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ds=raiz14,dt

Passo 3

Substituição na integral: temos x=t, y=2t, z=3t, então
xcos(yz),ds=tcos((2t)(3t))raiz14,dt=raiz14,tcos(6t^2),dt

Passo 4

Aplicação de substituição: usamos u=6t^2, daí du=12t,dt ou t,dt=du/12. Os limites vão de t=0Rightarrow u=0 até t=1Rightarrow u=6. A integral vira
integral0^1raiz14,tcos(6t^2),dt=raiz14integral0^1tcos(6t^2),dt=raiz1412integral0^6cos u,du

Passo 5

Cálculo final:
raiz1412integral0^6cos u,du=raiz1412l[sin ur]0^6=raiz1412sin(6)

Resposta

raiz14,sin(6)12

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