Mostre que se todos os planos osculadores de uma curva
são perpendiculares a certa reta fixa, então a curva é plana.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se todos os planos osculadores de uma curva
no espaço são perpendiculares a uma reta fixa de direção
, então a curva é plana. O conteúdo envolvido é o referencial de Frenet (tangente
, normal
, binormal
) e a definição de plano osculador, e vamos usar as fórmulas de Frenet para relacionar a torsão
à variação de
.
Passo 2
O plano osculador em cada ponto
da curva é o plano gerado por
e
. Por definição, seu vetor normal é o binormal
.
Se todo plano osculador é perpendicular à reta de direção , então
é normal ao plano em cada ponto. Logo, em cada
, temos
.
Como é fixo e
é sempre paralelo a
, a direção de
não varia com
. Assim,
Se todo plano osculador é perpendicular à reta de direção
Como
Passo 3
Pelo teorema de Frenet,
Passo 4
Igualando as duas expressões para
obtemos
, o que implica
para todo
.
Torsão nula caracteriza curvas planas. Portanto, a curva está contida num mesmo plano.
Torsão nula caracteriza curvas planas. Portanto, a curva
Resposta
Como
para todo
, a curva não “sai” de um plano fixo, logo é plana.