Mostre que se todos os planos osculadores de uma curva r são perpendiculares a certa reta fixa, então a curva é plana.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se todos os planos osculadores de uma curva r(s) no espaço são perpendiculares a uma reta fixa de direção v, então a curva é plana. O conteúdo envolvido é o referencial de Frenet (tangente T, normal N, binormal B) e a definição de plano osculador, e vamos usar as fórmulas de Frenet para relacionar a torsão tau(s) à variação de B(s).

Passo 2

O plano osculador em cada ponto s da curva é o plano gerado por T(s) e N(s). Por definição, seu vetor normal é o binormal B(s)= T(s)times N(s).
Se todo plano osculador é perpendicular à reta de direção v, então v é normal ao plano em cada ponto. Logo, em cada s, temos vparal<=l B(s).
Como v é fixo e B(s) é sempre paralelo a v, a direção de B(s) não varia com s. Assim,
dds B(s)= 0

Passo 3

Pelo teorema de Frenet,
dds B(s)=-tau(s), N(s)

Passo 4

Igualando as duas expressões para B'(s) obtemos -tau(s), N(s)=0, o que implica tau(s)=0 para todo s.
Torsão nula caracteriza curvas planas. Portanto, a curva r(s) está contida num mesmo plano.

Resposta

Como tau(s)=0 para todo s, a curva não “sai” de um plano fixo, logo é plana.

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