Calcule integralC x d s de (1,0,0) a (-1,0, pi) ao longo da hélice C representada pelas equações paramétricas x=cos t, y=sin t, z=t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de x = cos t, y = sin t, z = t em relação ao comprimento do arco ( ) ao longo de uma hélice que vai do ponto até . A hélice é dada pelas equações paramétricas:
Vamos usar cálculo integral e um pouquinho de geometria paramétrica para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt . representa um pequeno trecho do comprimento da hélice. Para calcular em termos de , usamos a fórmula:
Então, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas:
dxdt = -sin t, dydt = cos t, dzdt = 1
Agora, substituímos na fórmula do ds = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + (1)^2 , dt = raizsin^2 t + cos^2 t + 1 , dt :
ds = raiz1 + 1 , dt = raiz2 , dt
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos montar a integral que a gente precisa calcular:
integralC x , ds
Substituindo integralt=0^t=pi cos t cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^pi cos t , dt e , a integral fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral:
raiz2 integral0^pi cos t , dt
A integral de raiz2 [ sin t ]0^pi = raiz2 ( sin pi - sin 0 ) = raiz2 (0 - 0) = 0 é , então:

Resposta

O valor da integral é igual a .

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