Calcule
de
a
ao longo da hélice
representada pelas equações paramétricas
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de
em relação ao comprimento do arco (
) ao longo de uma hélice que vai do ponto
até
. A hélice é dada pelas equações paramétricas:
Vamos usar cálculo integral e um pouquinho de geometria paramétrica para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
.
representa um pequeno trecho do comprimento da hélice. Para calcular
em termos de
, usamos a fórmula:
Então, precisamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas:
Agora, substituímos na fórmula do
:
Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, vamos montar a integral que a gente precisa calcular:
Substituindo
e
, a integral fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral:
A integral de
é
, então:
Resposta
O valor da integral
é igual a
.