Em cada caso, encontre a área da região limitada pelas curvas dadas: y=x^2-2 x+1 e y=34 x+3

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas y = x^2 - 2x + 1 e y = tfrac34 x + 3. Esse tipo de problema cai em “área entre curvas”: primeiro a gente acha onde elas se cruzam e depois integra a diferença entre a função de cima e a de baixo.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as funções:
x^2 - 2x + 1 ,=, 34 x + 3
Reorganizando tudo num só lado:
x^2 - 2x + 1 - 34 x - 3 = 0
x^2 - 114x - 2 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara x = -b pm raizb^2 - 4ac2a com a=1, b=-tfrac114, c=-2, a gente encontra
x = 11 pm raiz2498
ou seja, os limites de integração são x1 = 11 - raiz2498 e x2 = 11 + raiz2498.

Passo 3

Agora identificamos qual curva está por cima entre esses valores. Basta avaliar em qualquer ponto intermediário (por exemplo, x=1) para ver que a reta y=tfrac34x+3 fica acima da parábola y=x^2-2x+1. Então a área é dada por
A = integralx1^x2 l[l(tfrac34 x + 3r) - l(x^2 - 2x + 1r)r] ,dx

Passo 4

Simplificando o integrando:
(tfrac34 x + 3) - (x^2 - 2x +1) = -x^2 + 114x + 2
Integrando termo a termo, um antiderivado é
F(x) = -13x^3 + 118x^2 + 2x
Portanto:
A = F(x2) - F(x1)
Em vez de calcular separadamente, a gente usa as somas e produtos das raízes para simplificar, chegando em
A = 83raiz249128

Resposta

83raiz249128

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