Calcule
, onde
é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de
a
, de
a
e de
a
.
Dica: Note que a região R é do tipo I , limitada superiormente por
(equação da reta).
Dica: Note que a região R é do tipo I , limitada superiormente por
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha
, onde
é o triângulo orientado positivamente com vértices em
,
e
. O método mais prático aqui é usar o Teorema de Green, pois reduz a integral de linha a uma dupla integral sobre a região
interna a
.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, temos
escolhendo
e
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Logo, o integrando fica
.
Passo 3
Precisamos então avaliar
onde
é o triângulo dado por
Esse é um tipo I, limitado acima pela reta
.
Passo 4
Montamos a integral iterada:
Primeiro integramos em
:
Passo 5
Agora resta integrar em
:
Calculando:
Multiplicando por
dá
.