Calcule integralC x^4 d x+x y d y, onde C é a curva triangular constituída pelos segmentos de reta de (0,0) a (2,0), de (2,0) a (0,2) e de (0,2) a (0,0).
Dica: Note que a região R é do tipo I , limitada superiormente por y=2-x (equação da reta).

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha ointC x^4,dx + x,y,dy, onde C é o triângulo orientado positivamente com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2). O método mais prático aqui é usar o Teorema de Green, pois reduz a integral de linha a uma dupla integral sobre a região R interna a C.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, temos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaR l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA,
escolhendo P(x,y)=x^4 e Q(x,y)=x,y. Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = y, partial Ppartial y = 0
Logo, o integrando fica y - 0 = y.

Passo 3

Precisamos então avaliar
integral duplaR y,dA,
onde R é o triângulo dado por
0 <= x <= 2, 0 <= y <= 2 - x
Esse é um tipo I, limitado acima pela reta y=2-x.

Passo 4

Montamos a integral iterada:
integralx=0^2 integraly=0^2-x y,dy,dx
Primeiro integramos em y:
integraly=0^2-x y,dy = l[tfracy^22r]0^2-x = (2-x)^22

Passo 5

Agora resta integrar em x:
integral0^2 (2-x)^22,dx = 12 integral0^2 (4 - 4x + x^2),dx
Calculando:
integral0^2 (4 - 4x + x^2),dx = l[4x -2x^2 + tfracx^33r]0^2 = 8 -8 + tfrac83 = tfrac83
Multiplicando por tfrac12 tfrac43.

Resposta

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