A Função Gama. A função gama é denotada por Gamma(p) e definida pela integral
Gamma(p+1)=integral0^infty e^-x x^p d x
A integral converge quando x infty para todo p. Para p<0 também é imprópria, porque o integrando torna-se ilimitado quando x 0. No entanto, pode-se mostrar que a integral converge em x=0 para p>-1.
Mostre que, para p>0,
p(p+1)(p+2) cdots(p+n-1)=Gamma(p+n) / Gamma(p)
Assim, Gamma(p) pode ser determinado para todos os valores positivos de p se Gamma(p) for conhecido em um unico intervalo de comprimento um, digamos, em 0. É possivel mostrar que Gamma(12)=raizpi. Encontre Gamma(12) e Gamma(112).

Passo 1

O enunciado fala da função Gama, definida por Gamma(p+1)=integral0^infty e^-xx^p,dx, e dá a relação recursiva para p>0:
p(p+1)cdots(p+n-1)=Gamma(p+n)Gamma(p)
A tarefa é achar Gamma(tfrac12) e Gamma(tfrac112).

Passo 2

Para calcular Gamma(tfrac12), usamos a definição e a substituição x=t^2. Assim:
Gammal(tfrac12r)=integral0^infty e^-xx^-1/2,dx =integral0^infty e^-t^2(t^2)^-1/2,2t,dt =2integral0^infty e^-t^2,dt =2cdotraizpi2=raizpi

Passo 3

Agora usamos a relação recursiva com p=tfrac12 e n=5, pois tfrac12+5=tfrac112:
Gammal(tfrac112r) =12cdot32cdot52cdot72cdot92;Gammal(tfrac12r)
Calculando o produto:
12cdot32cdot52cdot72cdot92 =1cdot3cdot5cdot7cdot92^5 =94532
Então
Gammal(tfrac112r)=94532,raizpi

Resposta

Gamma(tfrac12)=raizpieGamma(tfrac112)=94532,raizpi

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