Considere a transformada de Laplace de f, onde p>-1.
Seja p igual a um inteiro positivo n em (a); mostre que
L[r^n]=n^n / s^n+1, s>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f®=r^p no caso p>−1 e depois especializar em p=n inteiro positivo. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a relação com a função Gama.

Passo 2

Lembrando que por definição temos
L[r^p]=integral0^inftyr^p e^-sr,dr
e que a integral acima é exatamente a definição da função Gama deslocada: Gamma(p+1)=integral0^inftyr^p e^-r,dr. Para relacionar com nosso parâmetro s, fazemos uma mudança de variável.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável u=s r, temos r= u/s e dr=du/s. Substituindo na integral,
L[r^p]=integral0^inftyl(usr)^p e^-udus =1s^p+1integral0^inftyu^p e^-u,du =Gamma(p+1)s^p+1

Passo 4

Agora especializamos em p=n, com n inteiro não negativo. Usamos a propriedade da função Gama de que Gamma(n+1)=n!. Substituindo, obtemos
L[r^n]=n!s^n+1, s>0

Resposta

L[r^n)=n!s^n+1

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