Considere a transformada de Laplace de
, onde
.
Seja
igual a um inteiro positivo
em (a); mostre que
Seja
Passo 1
O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace de f®=r^p no caso p>−1 e depois especializar em p=n inteiro positivo. Vamos usar a definição de transformada de Laplace e a relação com a função Gama.
Passo 2
Lembrando que por definição temos
e que a integral acima é exatamente a definição da função Gama deslocada:
. Para relacionar com nosso parâmetro s, fazemos uma mudança de variável.
Passo 3
Fazendo a mudança de variável
, temos
e
. Substituindo na integral,
Passo 4
Agora especializamos em p=n, com n inteiro não negativo. Usamos a propriedade da função Gama de que
. Substituindo, obtemos