Encontre a massa e o centroide das lâminas descritas abaixo
a) A lâmina delimitada pelo eixo x, a reta x=1 e a curva y=raizx e de densidade de.
b) A lâmina delimitada pelo eixo x, a reta x=1 e a curva x=y^4 e de densidade de.
c) A lâmina delimitada pelo eixo x, e a curva x=1-x^2 e de densidade de.

Passo 1

Nesse exercício, vamos encontrar a massa e o centroide de lâminas com densidade constante de, definidas em regiões planas limitadas por curvas e retas. Para isso, usaremos as fórmulas:
m = integral duplaD de
barx = 1m integral duplaD x,de
bary = 1m integral duplaD y,de

Passo 2

Para o item (a), a lâmina é dada por
Da = (x,y):0 <= x <= 1,;0 <= y <= raizx e de. Logo:
ma = integral0^1 integral0^raizx 2,dy,dx = 2 integral0^1 raizx,dx = 2 cdot 23 = 43

Passo 3

Ainda em (a), os momentos para o centroide são:
barxa = 1ma integral0^1 integral0^raizx xcdot 2,dy,dx = 2ma integral0^1 xraizx,dx = 2(4/3) cdot 25 = 35,
barya = 1ma integral0^1 integral0^raizx ycdot 2,dy,dx = 2ma integral0^1 x1,dx = 2(4/3) cdot 12 = 34

Passo 4

Para o item (b), a lâmina é
Db = (x,y):0 <= y <= 1,;y^4 <= x <= 1 com de. Calculamos:
mb = integral0^1 integraly^4^1 14,dx,dy = 14 integral0^1 (1 - y^4),dy = 14 l[ y - y^55 r]0^1 = 14 cdot 45 = 565

Passo 5

Ainda em (b), os centroside são:
barxb = 1mb integral0^1 integraly^4^1 xcdot 14,dx,dy = 14mb integral0^1 l(1 - y^82r),dy = 142mb cdot 89 = 59,
baryb = 1mb integral0^1 integraly^4^1 ycdot 14,dx,dy = 14mb integral0^1 (y - y^5),dy = 14mb cdot 13 = 512

Passo 6

Para o item ©, a lâmina é
Dc = (x,y):-1 <= x <= 1,;0 <= y <= 1 - x^2 com de. Primeiro a massa:
mc = integral-1^1 integral0^1 - x^2 4,dy,dx = 4 integral-1^1 (1 - x^2),dx = 4 cdot 43 = 163

Passo 7

Em ©, por simetria barxc = 0. Para baryc:
baryc = 1mc integral-1^1 integral0^1 - x^2 ycdot 4,dy,dx = 4mc integral-1^1 (1 - x^2)^22,dx = 2mc cdot 1615 = 25

Resposta

a) m=tfrac43,;(barx,bary)=(tfrac35,tfrac34); b) m=tfrac565,;(barx,bary)=(tfrac59,tfrac512); c) m=tfrac163,;(barx,bary)=(0,tfrac25).

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