Sejam as funções vetoriais f(t)=t^2 i+5 j-2 t^3 k e g(t)=-3 i-4 t j-5 t k.
Calcule:
lim t -1 f(t) times g(t)

Passo 1

O enunciado fornece as funções vetoriais vec f(t)=t^2,vec i+5,vec j-2t^3,vec k e vec g(t)=-3,vec i-4t,vec j-5t,vec k e pede limtto -1(vec f(t)timesvec g(t)). O conteúdo envolve produto vetorial e limites de funções vetoriais. Como todas as componentes são polinomiais, podemos calcular o produto vetorial em um t genérico e depois usar a continuidade para avaliar em t=-1.

Passo 2

Vamos escrever as componentes de cada função: vec f(t)=(f1,f2,f3)=(t^2,,5,,-2t^3) e vec g(t)=(g1,g2,g3)=(-3,,-4t,,-5t). Lembrando que o produto vetorial vec ftimesvec g tem componentes
vec f(t)timesvec g(t)=l(f2g3-f3g2r),vec i+l(f3g1-f1g3r),vec j+l(f1g2-f2g1r),vec k

Passo 3

Agora, basta substituir cada fi e gi:
i-component&:;5cdot(-5t)-(-2t^3)cdot(-4t)=-25t-8t^4, j-component&:;(-2t^3)cdot(-3)-t^2cdot(-5t)=6t^3+5t^3=11t^3, k-component&:;t^2cdot(-4t)-5cdot(-3)=-4t^3+15
Portanto
vec f(t)timesvec g(t)=(-8t^4-25t),vec i+11t^3,vec j+(-4t^3+15),vec k

Passo 4

Para concluir, avaliamos em t=-1:
-8(-1)^4-25(-1)=17, 11(-1)^3=-11, -4(-1)^3+15=19
Logo,
limtto -1(vec f(t)timesvec g(t))=17,vec i-11,vec j+19,vec k

Resposta

17,\vec i - 11,\vec j + 19,\vec k

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