Calcule integralC(x-y) d x+e^x+y d y, onde C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(0,1) e (1,2), orientada no sentido anti-horário.
Resposta: square

Passo 1

A questão pede para calcular integralC(x-y),dx+e^x+y,dy onde C é o contorno orientado no sentido anti-horário do triângulo com vértices (0,0),(0,1),(1,2). O conteúdo principal é integral de linha de um campo vetor em R^2 e usaremos o Teorema de Green para transformar em integral dupla.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointCP,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
com P(x,y)=x-y e Q(x,y)=e^x+y. Calculamos
partial Qpartial x=e^x+y, partial Ppartial y=-1

Passo 3

Logo o integrando fica
partial Qpartial x-partial Ppartial y=e^x+y-(-1)=e^x+y+1

Passo 4

Precisamos descrever a região D. As arestas do triângulo são dadas por y=2x (entre (0,0) e (1,2)) e y=x+1 (entre (0,1) e (1,2)), com x variando de 0 a 1. Logo
0<= x<=1, 2x<= y<= x+1

Passo 5

Separamos a integral dupla:
integral duplaD(e^x+y+1),dA=integral duplaDe^x+y,dA+integral duplaD1,dA
Reconhecemos integral duplaD1,dA como a área do triângulo de vértices dados, que é 1/2.

Passo 6

Agora calculamos
integral duplaDe^x+y,dA= integral0^1l(integral2x^x+1e^x+y,dyr)dx
Integrando em y:
integral2x^x+1e^x+y,dy=e^xl[e^yr]y=2x^y=x+1=e^2x+1-e^3x
Depois em x:
integral0^1l(e^2x+1-e^3xr)dx= e(e^2-1)2-e^3-13=e^3-3e+26

Passo 7

Somando as partes:
ointC(x-y),dx+e^x+y,dy =e^3-3e+26+12 =e^3-3e+2+36 =e^3-3e+56

Resposta

e^3-3e+56

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