Calcule
, onde
é a fronteira do triângulo de vértices
e (1,2), orientada no sentido anti-horário.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
A questão pede para calcular
onde
é o contorno orientado no sentido anti-horário do triângulo com vértices
. O conteúdo principal é integral de linha de um campo vetor em
e usaremos o Teorema de Green para transformar em integral dupla.
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos
com
e
. Calculamos
Passo 3
Logo o integrando fica
Passo 4
Precisamos descrever a região
. As arestas do triângulo são dadas por
(entre
e
) e
(entre
e
), com
variando de 0 a 1. Logo
Passo 5
Separamos a integral dupla:
Reconhecemos
como a área do triângulo de vértices dados, que é
.
Passo 6
Agora calculamos
Integrando em
:
Depois em
:
Passo 7
Somando as partes: