Questão 4. Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelo cilindro
pelos planos
Resp:
u.v
O sólido limitado pelo cilindro
Passo 1
O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro y = x^{2} e pelos planos z = 0 e y + z = 1 usando integral tripla. O conteúdo principal é o cálculo de volume por integração em coordenadas cartesianas, identificando corretamente os limites de integração.
Passo 2
Precisamos primeiro entender a projeção do sólido no plano xy. Como z varia de 0 até 1 – y, exigimos 1 – y ≥ 0, ou seja y ≤ 1. Além disso, o cilindro y = x^{2} indica que y ≥ x^{2}. Então a região D no plano xy é dada por
Passo 3
O volume V é a integral tripla de 1 sobre o sólido. Em ordem dz dy dx, temos
Passo 4
Integramos primeiro em z:
Então a integral vira
Passo 5
Agora integramos em y:
Logo,
Passo 6
Como o integrando é função par, usamos simetria: