Questão 4. Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelo cilindro y=x^2 e pelos planos z=0 e y+z=1 Resp: 815 u.v

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro y = x^{2} e pelos planos z = 0 e y + z = 1 usando integral tripla. O conteúdo principal é o cálculo de volume por integração em coordenadas cartesianas, identificando corretamente os limites de integração.

Passo 2

Precisamos primeiro entender a projeção do sólido no plano xy. Como z varia de 0 até 1 – y, exigimos 1 – y ≥ 0, ou seja y ≤ 1. Além disso, o cilindro y = x^{2} indica que y ≥ x^{2}. Então a região D no plano xy é dada por
D = (x,y): x^2 <= y <= 1, -1 <= x <= 1

Passo 3

O volume V é a integral tripla de 1 sobre o sólido. Em ordem dz dy dx, temos
V = integralx=-1^1integraly=x^2^1integralz=0^1-y 1,dz,dy,dx

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integralz=0^1-y1,dz = (1-y)-0 = 1-y
Então a integral vira
V = integralx=-1^1integraly=x^2^1(1-y),dy,dx

Passo 5

Agora integramos em y:
integraly=x^2^1(1-y),dy = l[y-tfracy^22r]x^2^1 = l(1-tfrac12r)-l(x^2-tfracx^42r) = tfrac12 - x^2 + tfracx^42 = tfrac(1-x^2)^22
Logo,
V = integral-1^1(1-x^2)^22,dx

Passo 6

Como o integrando é função par, usamos simetria:
V = tfrac12integral-1^1(1-2x^2+x^4),dx = integral0^1(1-2x^2+x^4),dx = l[x-tfrac2x^33+tfracx^55r]0^1 = 1-tfrac23+tfrac15 = tfrac815

Resposta

815 u.v.

Exercícios relacionados