Calcule as seguintes integrais
integral2^3(1+2 y)^2 cdot d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais definidas. Para resolver isso, vamos precisar saber como integrar funções polinomiais e aplicar limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o termo (1 + 2y)^2 = 1^2 + 2 cdot 1 cdot 2y + (2y)^2 = 1 + 4y + 4y^2 para facilitar a integração. Vamos usar a fórmula do quadrado da soma:

Passo 3

Agora que expandimos, substituímos na integral:
integral2^3 (1 + 4y + 4y^2) , dy
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 4

Vamos integrar cada termo:
  1. y + 2y^2 + 43y^3
Então, a integral se torna:

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração de 2 a 3:
[ y + 2y^2 + 43y^3 ]2^3 = (3 + 2(3)^2 + 43(3)^3) - (2 + 2(2)^2 + 43(2)^3)
Calculando cada parte:
Para 3 + 2(9) + 43(27) = 3 + 18 + 36 = 57 :
2 + 2(4) + 43(8) = 2 + 8 + 323 = 10 + 323 = 623
Para :

Resposta

Subtraindo os valores obtidos:
57 - 623 = 1713 - 623 = 1093
Portanto, o valor da integral é .

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