Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
,
orientada no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral de linha
onde
é o contorno do triângulo de vértices
,
,
orientado no sentido anti-horário.
Conteúdo: usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região do triângulo.
Conteúdo: usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região
Passo 2
Identificamos
Pelo Teorema de Green,
Calculamos
Logo o integrando é
Passo 3
Precisamos parametrizar a região
: para
variando de
a
, as retas que limitam
são
reta de baixo: ,
reta de cima: .
Assim
reta de baixo:
reta de cima:
Assim
e a integral dupla fica
Passo 4
Separamos a parte
:
Calculamos
Portanto
Passo 5
A parte constante é
A área do triângulo de vértices
é
Passo 6
Somando as duas partes: