Calcule integralC(x-y) d x+e^x+y d y, onde C é o triângulo de vértices (0,0),(1,2), (0,1) orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha
integralCl(x-yr),dx + e^,x+y,dy
onde C é o contorno do triângulo de vértices (0,0), (1,2), (0,1) orientado no sentido anti-horário.
Conteúdo: usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha numa integral dupla sobre a região D do triângulo.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=x-y, Q(x,y)=e^,x+y
Pelo Teorema de Green,
integralCP,dx + Q,dy = integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
Calculamos
partial Qpartial x =partialpartial xe^,x+y=e^,x+y, partial Ppartial y =partialpartial y(x-y)=-1
Logo o integrando é
partial Qpartial x-partial Ppartial y =e^,x+y-(-1)=e^,x+y+1

Passo 3

Precisamos parametrizar a região D: para x variando de 0 a 1, as retas que limitam y são
reta de baixo: y=2x,
reta de cima: y=x+1.
Assim
D=(x,y)mid 0<= x<=1,;2x<= y<= x+1,
e a integral dupla fica
integral duplaD(e^,x+y+1),dA =integral0^1!integral2x^,x+1(e^,x+y+1),dy,dx

Passo 4

Separamos a parte e^,x+y:
integral0^1!integral2x^,x+1e^,x+y,dy,dx =integral0^1e^,xl[integral2x^x+1e^,ydyr]dx =integral0^1e^,xl(e^,x+1-e^,2xr)dx =integral0^1l(e^,2x+1-e^,3xr)dx
Calculamos
integral0^1e^,2x+1dx =eintegral0^1e^,2xdx =el[e^,2x2r]0^1 =e^3-e2,
integral0^1e^,3xdx =l[e^,3x3r]0^1 =e^3-13
Portanto
integral duplaDe^,x+y,dA =e^3-e2-e^3-13 =e^36-e2+13

Passo 5

A parte constante é
integral duplaD1,dA =área(D) á
A área do triângulo de vértices (0,0),(1,2),(0,1) é
12l|0cdot(2-1)+1cdot(0-0)+0cdot(1-2)r| =12

Passo 6

Somando as duas partes:
integral duplaD(e^,x+y+1),dA =l(e^36-e2+13r)+12 =e^36-e2+13+12 =e^3-3e+56

Resposta

integralC(x-y),dx + e^,x+y,dy =e^3-3e+56

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