Calcule integralC y^2 d x+x d y-d z, onde C é a poligonal de vértices (0,0,0),(1,1,1), ( 1,1,0 ) orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha da 1-forma
omega = y^2,dx + x,dy - dz
ao longo da poligonal C de vértices
(0,0,0)to(1,1,1)to(1,1,0)to(0,0,0) orientada no sentido anti-horário.
A estratégia é parametrizar cada aresta de C, calcular a integral em cada trecho e somar.

Passo 2

Definimos três parametrizações:
  1. Segmento ABcolon (0,0,0)to(1,1,1) por r1(t) = (t,t,t), tin[0,1], logo ,dx=dt, ,dy=dt, ,dz=dt.
  2. Segmento BCcolon (1,1,1)to(1,1,0) por r2(t) = (1,1,1-t), tin[0,1], logo ,dx=0, ,dy=0, ,dz=-dt.
  3. Segmento CAcolon (1,1,0)to(0,0,0) por r3(t) = (1-t,,1-t,,0), tin[0,1], logo ,dx=-dt, ,dy=-dt, ,dz=0.

Passo 3

Integral em AB:
integral0^1l(y^2,dx + x,dy - dzr) = integral0^1l(t^2,dt + t,dt - dtr) = integral0^1(t^2+t-1),dt = l[tfract^33+tfract^22-tr]0^1 = -tfrac16

Passo 4

Integral em BC:
integral0^1l(y^2,dx+x,dy -dzr) = integral0^1l(1^2cdot0 +1cdot0 -(-dt)r) = integral0^1dt = 1

Passo 5

Integral em CA:
integral0^1l(y^2,dx + x,dy -dzr) = integral0^1l((1-t)^2(-dt)+(1-t)(-dt)-0r) = integral0^1(-2+3t-t^2),dt = l[-2t+tfrac3t^22-tfract^33r]0^1 = -tfrac56

Passo 6

Somando as três contribuições:
-tfrac16 + 1 + l(-tfrac56r) = 0

Resposta

0

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