Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
100 ux x=ut, 0<x<1, t>0
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I) lu(0, t)=0 u(1, t)=0
(II) lu(0, t)=50 u(1, t)=80
(III) lux(0, t)=0 ux(1, t)=0.
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A) u(x, 0)=10
(B) u(x, 0)=x
Determine a solução u(x, t) do problema com:
CC: II e CI: B

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de calor
100,uxx=ut, 0<x<1,;t>0,
com condições de contorno não-homogêneas
u(0,t)=50, u(1,t)=80
e condição inicial
u(x,0)=x
O conteúdo aqui é solução de EDP de calor com contorno não-homogêneo, usando a decomposição em regime permanente mais parte transitória por séries de Fourier.

Passo 2

Procuramos primeiro a solução de regime permanente phi(x) que elimina a dependência de t. Como nessa situação phit=0, a equação reduz-se a
100,phi''(x)=0Longrightarrow phi''(x)=0
As condições de contorno são
phi(0)=50, phi(1)=80,
logo integrando duas vezes obtemos
phi(x)=A,x+B,
e de phi(0)=B=50, phi(1)=A+B=80 segue A=30. Portanto
phi(x)=50+30x

Passo 3

Definimos a parte transitória
v(x,t)=u(x,t)-phi(x)
Então
vt=ut, vxx=uxx,
e v satisfaz
100,vxx=vt,
com contornos homogêneos
v(0,t)=u(0,t)-phi(0)=50-50=0, v(1,t)=80-80=0
e condição inicial
v(x,0)=u(x,0)-phi(x)=x-(50+30x)=-50-29x

Passo 4

Como v tem contorno homogêneo v(0,t)=v(1,t)=0, expandimos em seno de Fourier:
v(x,t)=sumn=1^inftyBnsin(npi x),e^-100,n^2pi^2,t
Os coeficientes Bn vêm de
Bn=2integral0^1v(x,0),sin(npi x),dx =2integral0^1l(-50-29xr)sin(npi x),dx

Passo 5

Separamos o integral em duas partes:
I1=-50integral0^1sin(npi x),dx, I2=-29integral0^1xsin(npi x),dx
Calculando
integral0^1sin(npi x),dx =1-(-1)^nnpi,
logo
I1=-50,1-(-1)^nnpi
Para o segundo, por partes,
integral0^1xsin(npi x),dx =-xcos(npi x)npi|0^1 +1npiintegral0^1cos(npi x),dx =-(-1)^nnpi,
pois integral0^1cos(npi x),dx=0. Assim
I2=-29l(-(-1)^nnpir) =29,(-1)^nnpi
Então
Bn=2l(I1+I2r) =2npil[-50l(1-(-1)^nr)+29(-1)^nr] =2l(-50+79(-1)^nr)npi

Passo 6

Voltando a u, temos
u(x,t)=phi(x)+v(x,t) =50+30x +sumn=1^infty2l(-50+79(-1)^nr)npi, sin(npi x),e^-100,n^2pi^2,t

Resposta

boxed u(x,t) =50+30x +sumn=1^infty 2l(-50+79(-1)^nr)npi sinl(npi xr), e^-100,n^2pi^2,t

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