Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I)
(II)
(III) .
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A)
(B)
Determine a solução do problema com: e
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de calor
com condições de contorno não-homogêneas
e condição inicial
O conteúdo aqui é solução de EDP de calor com contorno não-homogêneo, usando a decomposição em regime permanente mais parte transitória por séries de Fourier.
Passo 2
Procuramos primeiro a solução de regime permanente que elimina a dependência de . Como nessa situação , a equação reduz-se a
As condições de contorno são
logo integrando duas vezes obtemos
e de , segue . Portanto
Passo 3
Definimos a parte transitória
Então
e satisfaz
com contornos homogêneos
e condição inicial
Passo 4
Como tem contorno homogêneo , expandimos em seno de Fourier: