(2,6)
a) Calcule integralC(2 x+5 y+1) d x+(3 x+1) d y onde C é o segmento de reta de (-1,0) a
(2,-2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC(2x + 5y + 1) , dx + (3x + 1) , dy, onde C é o segmento de reta que vai de (-1, 0) até (2, -2). Para isso, vamos usar o conhecimento sobre integrais de linha e parametrização de caminhos.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o caminho C. Como C é um segmento de reta de (-1, 0) a (2, -2), podemos definir uma parametrização linear. Vamos chamar o parâmetro de t, onde t varia de 0 a 1.
As componentes x e y em função de t ficam assim:
x(t) = x0 + t(x1 - x0) = -1 + t(2 - (-1)) = -1 + 3t
y(t) = y0 + t(y1 - y0) = 0 + t(-2 - 0) = -2t
Então, a parametrização é:
r(t) = (-1 + 3t, -2t), t in [0, 1]

Passo 3

Agora, precisamos calcular dx e dy em termos de t. Derivando x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt = 3 Rightarrow dx = 3 , dt
dydt = -2 Rightarrow dy = -2 , dt

Passo 4

Substituímos x(t), y(t), dx e dy na integral original:
integralC(2x + 5y + 1) , dx + (3x + 1) , dy = integral0^1 [2(-1 + 3t) + 5(-2t) + 1] cdot 3 , dt + [3(-1 + 3t) + 1] cdot (-2) , dt

Passo 5

Vamos simplificar as expressões dentro da integral:
Para o termo com dx:
2(-1 + 3t) + 5(-2t) + 1 = -2 + 6t -10t + 1 = -1 -4t
Multiplicando por 3:
(-1 -4t) cdot 3 = -3 -12t
Para o termo com dy:
3(-1 + 3t) + 1 = -3 + 9t + 1 = -2 + 9t
Multiplicando por -2:
(-2 + 9t) cdot (-2) = 4 -18t

Passo 6

Agora, somamos os dois resultados dentro da integral:
-3 -12t + 4 -18t = 1 -30t
Então, a integral fica:
integral0^1 (1 -30t) , dt

Passo 7

Vamos calcular a integral:
integral0^1 (1 -30t) , dt = [ t -15t^2 ]0^1 = (1 -15) - (0 -0) = -14

Resposta

O valor da integral é -14.

Exercícios relacionados