Considere a função u(x, y, z)=e^a x+b y+c z com a^2+b^2+c^2=1. Verifique que a função satisfaz a equação
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=u

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função u(x,y,z)=e^ax+by+cz, sujeita a a^2+b^2+c^2=1, satisfaz a equação partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=u. O conteúdo envolve derivadas parciais de funções exponenciais e o uso da regra da cadeia.

Passo 2

Vamos calcular a primeira e a segunda derivada de u em relação a x. Aplicando a regra da cadeia temos partial upartial x=a,e^ax+by+cz. Derivando de novo em relação a x obtemos:
partial^2 upartial x^2=a^2,e^ax+by+cz

Passo 3

O mesmo raciocínio vale para y e z. Logo:
partial^2 upartial y^2=b^2,e^ax+by+cz,
partial^2 upartial z^2=c^2,e^ax+by+cz

Passo 4

Agora somamos as três segundas derivadas e usamos a condição a^2+b^2+c^2=1:
partial^2 upartial x^2+partial^2 upartial y^2+partial^2 upartial z^2=(a^2+b^2+c^2)e^ax+by+cz=e^ax+by+cz=u

Resposta

A soma das três segundas derivadas é igual a u, portanto a função satisfaz a equação dada.

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