O potencial de Yukawa descreve aproximadamente a interação da força forte dentre dois prótons no núcleo atômico e é dado pela fórmula
V(r)=-Ar e^-alpha r
onde r=raizx^2+y^2+z^2. (a) Calcule a força induzida por este potencial utilizando a fórmula F=-nabla V. (b) Qual é o módulo desta força?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a força associada ao potencial de Yukawa \ V® = -\frac{A}{r} e^{-\alpha r} usando \mathbf{F} = -\nabla V e depois obter o módulo dessa força. O conteúdo aqui é derivada radial em coordenadas esféricas e regra do produto na diferenciação.

Passo 2

Como o potencial depende só de r = \sqrt{x2+y2+z^2}, podemos usar o resultado padrão de que a componente radial do gradiente é dV/dr. Logo,
nabla V = dVdr,re F = -dVdr,r

Passo 3

Agora calculamos a derivada dV/dr aplicando a regra do produto em \ V® = -A,r^{-1} e^{-\alpha r}. Assim,
dVdr = -A ddrl(r^-1 e^-alpha rr) = -Al(-r^-2 e^-alpha r - alpha r^-1e^-alpha rr) = A e^-alpha rl(r^-2 + alpha r^-1r)

Passo 4

Substituindo em \mathbf{F} = - (dV/dr) \hat{\mathbf{r}}, obtemos
F(r) = -A e^-alpha rl(1r^2 + alpharr),r = -A e^-alpha r1+alpha rr^2,r

Passo 5

O módulo dessa força é simplesmente o valor absoluto do fator radial (já que \hat{\mathbf{r}} é unitário):
|F(r)| = A e^-alpha r1+alpha rr^2

Resposta

$\mathbf{F}® = -A e^{-\alpha r}\dfrac{1+\alpha r}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}$ e seu módulo é \( A e^{-\alpha r}\dfrac{1+\alpha r}{r^2} )

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