O potencial de Yukawa descreve aproximadamente a interação da força forte dentre dois prótons no núcleo atômico e é dado pela fórmula
onde
. (a) Calcule a força induzida por este potencial utilizando a fórmula
. (b) Qual é o módulo desta força?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a força associada ao potencial de Yukawa \ V® = -\frac{A}{r} e^{-\alpha r} usando \mathbf{F} = -\nabla V e depois obter o módulo dessa força. O conteúdo aqui é derivada radial em coordenadas esféricas e regra do produto na diferenciação.
Passo 2
Como o potencial depende só de r = \sqrt{x2+y2+z^2}, podemos usar o resultado padrão de que a componente radial do gradiente é dV/dr. Logo,
Passo 3
Agora calculamos a derivada
aplicando a regra do produto em \ V® = -A,r^{-1} e^{-\alpha r}. Assim,
Passo 4
Substituindo em \mathbf{F} = - (dV/dr) \hat{\mathbf{r}}, obtemos
Passo 5
O módulo dessa força é simplesmente o valor absoluto do fator radial (já que \hat{\mathbf{r}} é unitário):
Resposta
$\mathbf{F}® = -A e^{-\alpha r}\dfrac{1+\alpha r}{r^2}\,\hat{\mathbf{r}}$ e seu módulo é \( A e^{-\alpha r}\dfrac{1+\alpha r}{r^2} )