Suponha que
seja uma função diferenciável de uma variável e que
. Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente de uma função composta f®, onde r=
. O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia em derivadas parciais para obter o vetor gradiente.
Passo 2
Lembremos que o gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é dado por
. No nosso caso temos f dependendo de x,y,z apenas por meio de r, então pela regra da cadeia vale
, e o mesmo para y e z.
Passo 3
Precisamos agora achar as derivadas parciais de r=
. Calculando,
e de modo análogo
Passo 4
Substituindo na expressão de cada componente do gradiente, obtemos
Passo 5
Finalmente, agrupando as componentes vetoriais,