Suponha que f seja uma função diferenciável de uma variável e que r=raizx^2+y^2+z^2. Mostre que
nabla f(r)=f^prime(r) x i+y j+z kr

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente de uma função composta f®, onde r= raizx^2+y^2+z^2. O conteúdo principal é aplicar a regra da cadeia em derivadas parciais para obter o vetor gradiente.

Passo 2

Lembremos que o gradiente de uma função escalar f(x,y,z) é dado por nabla f=(partial f/partial x,;partial f/partial y,;partial f/partial z). No nosso caso temos f dependendo de x,y,z apenas por meio de r, então pela regra da cadeia vale partial f/partial x=f'(r),partial r/partial x, e o mesmo para y e z.

Passo 3

Precisamos agora achar as derivadas parciais de r= raizx^2+y^2+z^2. Calculando,
partial rpartial x=12raizx^2+y^2+z^2;2x=xr,
e de modo análogo partial r/partial y=y/r e partial r/partial z=z/r.

Passo 4

Substituindo na expressão de cada componente do gradiente, obtemos
partial fpartial x=f'(r)xr,partial fpartial y=f'(r)yr,partial fpartial z=f'(r)zr

Passo 5

Finalmente, agrupando as componentes vetoriais,
nabla f(r)=f'(r)l(xr,,yr,,zrr)=f'(r)xi+yj+zkr

Resposta

nabla f(r)=f'(r)xi+yj+zkr

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