Verifique se as EDOs de 1^0 ordem abaixo são exatas e resolva-as.

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem (5x+4y),dx + (4x - 8y^3),dy = 0. O conteúdo aqui é EDO exata: queremos verificar se existe uma função potencial phi(x,y) tal que phix = M(x,y) = 5x+4y e phiy = N(x,y) = 4x-8y^3.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar a exatidão: primeiro partial M/partial y e depois partial N/partial x.
partial Mpartial y = partialpartial y(5x+4y) = 4,
partial Npartial x = partialpartial x(4x-8y^3) = 4
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata. Agora buscamos phi integrando M em relação a x:
phi(x,y) = integral (5x+4y),dx = 52x^2 + 4xy + h(y),

Passo 3

Derivamos essa expressão em relação a y e igualamos a N(x,y) para determinar h(y):
phiy = 4x + h'(y) = 4x - 8y^3
Rightarrow h'(y) = -8y^3 Rightarrow h(y) = -2y^4
Substituindo h(y) em phi, obtemos a função potencial completa:
phi(x,y) = 52x^2 + 4xy - 2y^4

Passo 4

A solução geral da EDO é dada pela curva de nível phi(x,y)=C.

Resposta

52x^2 + 4xy - 2y^4 = C

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