Resolva os problemas de valor inicial:
ly^prime-cos (x) y=x e^x^2+sin x y(0)=1

Passo 1

Temos uma equação diferencial linear de primeira ordem: y'-cos(x)y = x e^x^2+sin x com condição inicial y(0)=1. O conteúdo aqui é Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear, e vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Identificamos o coeficiente p(x) da forma padrão y'+p(x)y=q(x). Aqui p(x)=-cos(x). Calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral p(x),dx=e^integral -cos(x),dx=e^-sin x

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x). Isso transforma o lado esquerdo na derivada do produto:
mu(x)y' -cos(x)mu(x)y=l(y e^-sin xr)' = x e^x^2+sin x,e^-sin x=x e^x^2

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
integral l(y e^-sin xr)',dx = integral x e^x^2,dx
Isso dá
y e^-sin x=12 e^x^2+C

Passo 5

Isolamos y e aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1=y(0)=e^0l(tfrac12e^0+Cr)=12+C
Logo C=tfrac12. Substituindo de volta,
y=e^sin xl(tfrac12e^x^2+tfrac12r)=12e^sin xl(e^x^2+1r)

Resposta

y(x)=tfrac12e^sin xl(e^x^2+1r)

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