Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime=y+xx

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO y' = y + xx. Esse é um problema de equação diferencial ordinária de primeira ordem, linear. Para resolver vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão de equação linear y' + p(x)y = q(x). Aqui temos
y' - 1xy = 1,
onde p(x)=-tfrac1x e q(x)=1.

Passo 3

O fator integrante é dado por mu(x) = e^integral p(x),dx = e^integral -tfrac1xdx = e^-ln|x| = tfrac1|x|. Escolhendo um intervalo onde xneq0, podemos usar mu(x)=tfrac1x.

Passo 4

Multiplicando toda a equação por mu(x)=tfrac1x obtemos
$$\frac{1}{x}y

Passo 5

  • \frac{1}{x^2}y = \frac{1}{x}.$$ Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto $y/x$, isto é, , isto é,
$$\frac{d}{dx}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \frac{1}{x}y

Passo 6

  • \frac{1}{x^2}y.$$

Passo 7

Agora integramos ambos os lados:
integral dl(yxr) = integral 1x,dx, o que leva a yx = ln|x| + C. Multiplicando por x, encontramos a solução geral da EDO.

Resposta

y = xln|x| + Cx

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