Calcule integralC zz^2-4 z+3, em que C=z| | z mid=2 está orientado no sentido antihorário.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular , onde é o círculo orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa na análise de integrais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador para identificar os pontos onde a função tem “problemas” (chamados de polos). Temos:
z^2 - 4z + 3 = (z - 1)(z - 3)
Então, a função fica:
z(z - 1)(z - 3)

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os polos dessa função, que são os valores de que zeram o denominador. São eles e .

Passo 4

Como estamos integrando sobre o círculo , vamos ver quais desses polos estão dentro desse círculo. Calculando as magnitudes:
  • está dentro.
  • está fora.
Então, só precisamos considerar o polo em .

Passo 5

Vamos calcular o resíduo da função no polo Res(z(z - 1)(z - 3), z = 1) = limz to 1 (z - 1) cdot z(z - 1)(z - 3) = limz to 1 zz - 3 = 11 - 3 = -12 . Para isso, usamos a fórmula do resíduo para polos simples:

Passo 6

Aplicando o Teorema dos Resíduos, sabemos que:
integralC zz^2-4 z+3 , dz = 2pi i times Res(z(z - 1)(z - 3), z = 1) = 2pi i times (-12) = -pi i

Resposta

A integral vale .

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