Calcule
, em que
está orientado no sentido antihorário.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral complexa juntos! O enunciado pede para calcular
, onde
é o círculo
orientado no sentido anti-horário. Para isso, vamos usar o Teorema dos Resíduos, que é uma ferramenta poderosa na análise de integrais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no denominador para identificar os pontos onde a função tem “problemas” (chamados de polos). Temos:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os polos dessa função, que são os valores de
que zeram o denominador. São eles
e
.
Passo 4
Como estamos integrando sobre o círculo
, vamos ver quais desses polos estão dentro desse círculo. Calculando as magnitudes:
-
→ está dentro. -
→ está fora.
Então, só precisamos considerar o polo em
.
Passo 5
Vamos calcular o resíduo da função no polo
. Para isso, usamos a fórmula do resíduo para polos simples:
Passo 6
Aplicando o Teorema dos Resíduos, sabemos que:
Resposta
A integral
vale
.