(1,5 ponto) Encontre todos os valores possíveis de arctan (raiz2 i).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar todos os valores possíveis de arctan (raiz2 i). Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas inversas para números complexos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos e logaritmos complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função arctan(z) para um número complexo z pode ser expressa em termos de logaritmos complexos. A fórmula geral é:
arctan(z) = i2 [ ln(1 - i z) - ln(1 + i z) ]
Aqui, i é a unidade imaginária e ln representa o logaritmo complexo.

Passo 3

No nosso caso, z = raiz2 i. Vamos substituir esse valor na fórmula:
arctan(raiz2 i) = i2 [ ln(1 - i (raiz2 i)) - ln(1 + i (raiz2 i)) ]
Simplificando dentro dos logaritmos:
1 - i (raiz2 i) = 1 - raiz2 i^2 = 1 - raiz2 (-1) = 1 + raiz2
1 + i (raiz2 i) = 1 + raiz2 i^2 = 1 + raiz2 (-1) = 1 - raiz2
Então, temos:
arctan(raiz2 i) = i2 [ ln(1 + raiz2) - ln(1 - raiz2) ]

Passo 4

Agora, vamos utilizar a propriedade dos logaritmos que diz ln(a) - ln(b) = ln(ab):
arctan(raiz2 i) = i2 ln(1 + raiz21 - raiz2)
Observamos que o denominador 1 - raiz2 é negativo, então podemos reescrever a fração multiplicando numerador e denominador por -1:
1 + raiz21 - raiz2 = -( -1 - raiz2)-(1 - raiz2) = -1 - raiz2raiz2 - 1 = raiz2 +1raiz2 -1
Portanto:
arctan(raiz2 i) = i2 ln(raiz2 + 1raiz2 - 1)

Passo 5

Para simplificar ainda mais, podemos racionalizar a fração raiz2 + 1raiz2 - 1 multiplicando numerador e denominador por raiz2 + 1:
raiz2 + 1raiz2 - 1 times raiz2 + 1raiz2 + 1 = (raiz2 + 1)^2(raiz2)^2 - (1)^2 = 2 + 2raiz2 + 12 - 1 = 3 + 2raiz2
Então:
arctan(raiz2 i) = i2 ln(3 + 2raiz2)

Passo 6

Sabemos que o logaritmo complexo possui múltiplos valores devido à periodicidade da função exponencial. Portanto, a solução geral para arctan(z) em números complexos inclui um termo de kpi, onde k é qualquer inteiro.
Assim, todos os valores possíveis de arctan(raiz2 i) são dados por:
arctan(raiz2 i) = i2 ln(3 + 2raiz2) + kpi, k in Z

Resposta

Todos os valores possíveis de arctan(raiz2 i) são:
arctan(raiz2 i) = i2 ln(3 + 2raiz2) + kpi, onde k é qualquer inteiro é

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