(1,5 ponto) Encontre todos os valores possíveis de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para encontrar todos os valores possíveis de
. Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas inversas para números complexos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de números complexos e logaritmos complexos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função
para um número complexo
pode ser expressa em termos de logaritmos complexos. A fórmula geral é:
Aqui,
é a unidade imaginária e
representa o logaritmo complexo.
Passo 3
No nosso caso,
. Vamos substituir esse valor na fórmula:
Simplificando dentro dos logaritmos:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos utilizar a propriedade dos logaritmos que diz
:
Observamos que o denominador
é negativo, então podemos reescrever a fração multiplicando numerador e denominador por
:
Portanto:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, podemos racionalizar a fração
multiplicando numerador e denominador por
:
Então:
Passo 6
Sabemos que o logaritmo complexo possui múltiplos valores devido à periodicidade da função exponencial. Portanto, a solução geral para
em números complexos inclui um termo de
, onde
é qualquer inteiro.
Assim, todos os valores possíveis de
são dados por:
Resposta
Todos os valores possíveis de
são: