Calcule integralD yx d A, onde D é o conjunto dos pontos com 1 <= x^2+y^2 <= 4 e 0 <= y <= x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla integralD yx , dA. O domínio D é definido pelos pontos onde 1 <= x^2 + y^2 <= 4 e 0 <= y <= x. Isso significa que estamos lidando com uma região entre dois círculos com raios 1 e 2, e que também está limitada pela linha y = x. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que simplificam bastante integrais envolvendo círculos. Precisamos entender como converter a integral para coordenadas polares e ajustar os limites de integração de acordo com a região D.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta):
x = r costheta, y = r sintheta, e dA = r , dr , dtheta
A razão yx em coordenadas polares fica:
yx = r sinthetar costheta = tantheta
Então, nossa integral em coordenadas polares fica:
integral integralD tantheta cdot r , dr , dtheta

Passo 3

Agora, vamos determinar os limites de integração. A condição 1 <= x^2 + y^2 <= 4 se traduz, em polares, para:
1 <= r^2 <= 4 Rightarrow 1 <= r <= 2
A condição 0 <= y <= x em polares se traduz para:
0 <= r sintheta <= r costheta Rightarrow 0 <= sintheta <= costheta Rightarrow 0 <= theta <= pi4
Portanto, os limites são r de 1 a 2 e theta de 0 a pi4.

Passo 4

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^pi/4 integral1^2 tantheta cdot r , dr , dtheta
Vamos primeiro integrar em relação a r.

Passo 5

Integrando em relação a r:
integral1^2 r , dr = r^22 |1^2 = 42 - 12 = 32
Então, a integral fica:
32 integral0^pi/4 tantheta , dtheta

Passo 6

Agora, temos que integrar tantheta em relação a theta. Sabemos que:
integral tantheta , dtheta = -ln|costheta| + C
Portanto:
32 [ -ln|costheta| ]0^pi/4

Passo 7

Vamos calcular os valores:
- ln|cos(pi/4)| = -ln(raiz22) = ln(2^1/2) = 12 ln 2
E para theta = 0:
- ln|cos(0)| = -ln(1) = 0
Então, a diferença é 12 ln 2.

Passo 8

Multiplicando pelo fator 32:
32 cdot 12 ln 2 = 34 ln 2

Resposta

O valor da integral é 34 ln 2.

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