Beleza, vamos resolver essa integral dupla . O domínio é definido pelos pontos onde e . Isso significa que estamos lidando com uma região entre dois círculos com raios 1 e 2, e que também está limitada pela linha . Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que simplificam bastante integrais envolvendo círculos. Precisamos entender como converter a integral para coordenadas polares e ajustar os limites de integração de acordo com a região .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares :
A razão em coordenadas polares fica:
Então, nossa integral em coordenadas polares fica:
Passo 3
Agora, vamos determinar os limites de integração. A condição se traduz, em polares, para:
A condição em polares se traduz para:
Portanto, os limites são de 1 a 2 e de 0 a .
Passo 4
Substituindo tudo na integral, temos:
Vamos primeiro integrar em relação a .
Passo 5
Integrando em relação a :
Então, a integral fica:
32 integral0^pi/4 tantheta , dtheta
Passo 6
Agora, temos que integrar tantheta em relação a theta. Sabemos que: