Calcule integralegral duplaB e^x^2+y^2 d x d y, onde B é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que 1 <= x^2+y^2 <= 4, -x <= y <= x, x >= 0.

Passo 1

Neste exercício queremos calcular a integral dupla integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy sobre a região r. O conteúdo que vamos usar é mudança para coordenadas polares, o Jacobiano r e integração de funções que dependem só de .

Passo 2

Fazendo a mudança para coordenadas polares definimos
x=rcostheta, y=rsintheta,
com Jacobiano dfracpartial(x,y)partial(r,theta)=r. Precisamos também achar os limites: a condição 1<= x^2+y^2<=4 vira 1<= r^2<=4, ou seja rin[1,2]. As retas y=pm x em polares são theta=pmpi/4, e x>=0 impõe thetain(-pi/2,pi/2). A interseção dá thetain[-pi/4,pi/4].

Passo 3

Substituindo na integral original obtemos
integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy =integraltheta=-pi/4^pi/4integralr=1^2 e^r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Para calcular a parte radial usamos a substituição u=r^2, de modo que du=2r,dr, logo
integralr=1^2 e^r^2,r,dr =12integralu=1^4 e^u,du =12l(e^4-e^1r) =12l(e^4-er)

Passo 5

A integral em theta é então um simples fator de comprimento do intervalo:
integral-pi/4^pi/4dtheta =pi2
Multiplicando tudo obtemos
integral duplaB e^x^2+y^2,dx,dy =pi2cdot12l(e^4-er) =pi4l(e^4-er)

Resposta

pi4l(e^4-er)

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