Calcule
, onde
é o conjunto de todos os pontos
tais que
.
Passo 1
Neste exercício queremos calcular a integral dupla
sobre a região
. O conteúdo que vamos usar é mudança para coordenadas polares, o Jacobiano
e integração de funções que dependem só de
.
Passo 2
Fazendo a mudança para coordenadas polares definimos
com Jacobiano
. Precisamos também achar os limites: a condição
vira
, ou seja
. As retas
em polares são
, e
impõe
. A interseção dá
.
Passo 3
Substituindo na integral original obtemos
Passo 4
Para calcular a parte radial usamos a substituição
, de modo que
, logo
Passo 5
A integral em
é então um simples fator de comprimento do intervalo:
Multiplicando tudo obtemos