Divida f(x) por d(x) e escreva a função como consequência do algoritmo da divisão e também escreva a função f / d.
f(x)=4 x^3-8 x^2+2 x-1 ; d(x)=2 x+1

Passo 1

O exercício pede para dividir o polinômio f(x)=4x^3-8x^2+2x-1 pelo polinômio d(x)=2x+1, usando o algoritmo da divisão de polinômios. Vamos precisar entender o algoritmo da divisão: a cada passo dividimos o termo de maior grau de quem está sendo dividido pelo termo de maior grau do divisor, multiplicamos, subtraímos e repetimos até chegar num resto de grau menor que o divisor.

Passo 2

Para aplicar o algoritmo, começamos dividindo o termo líder de f(x) pelo termo líder de d(x):
• Dividimos 4x^3 por 2x, obtendo 2x^2.
• Multiplicamos 2x^2(2x+1)=4x^3+2x^2 e subtraímos de f(x):
4x^3-8x^2+2x-1 - (4x^3+2x^2) = -10x^2+2x-1

Passo 3

• Agora dividimos -10x^2 por 2x, dando (-5x). Multiplicamos:
-5x(2x+1) = -10x^2 -5x
e subtraímos:
-10x^2+2x-1 - (-10x^2-5x) = 7x-1

Passo 4

• Em seguida, dividimos 7x por 2x, obtendo (7/2). Multiplicamos:
tfrac72(2x+1) = 7x + tfrac72
e subtraímos:
7x-1 - (7x+tfrac72) = -1 - tfrac72 = -tfrac92

Passo 5

Como o resto -tfrac92 tem grau menor que d(x), paramos. Assim o quociente é
q(x)=2x^2 -5x + tfrac72,
e o resto é r=-tfrac92.

Passo 6

Agora, pelo algoritmo da divisão, temos
f(x)=d(x),q(x)+r,isto é,
4x^3-8x^2+2x-1 = (2x+1)l(2x^2-5x+tfrac72r) - tfrac92

Passo 7

Finalmente, dividindo ambos os lados por d(x), obtemos a função racional
f(x)d(x) = q(x) + rd(x) = 2x^2 -5x + tfrac72 - tfrac922x+1

Resposta

f(x)= (2x+1)\bigl(2x^2-5x+\tfrac{7}{2}\bigr) - \tfrac{9}{2}
f(x)/d(x)=2x^2-5x+\tfrac{7}{2}-\frac{\tfrac{9}{2}}{2x+1}

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