Exercício 1. Nos itens abaixo, verifique se as formas são exatas, caso seja, resolva.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial dada por:
(y ln y - e^x) dx + (1y + x ln y) dy = 0
O objetivo aqui é verificar se essa forma é exata. Se for, a gente resolve. O conteúdo envolvido é equações diferenciais exatas, e vamos precisar entender o que significa uma equação ser exata e como encontrar a solução nesse caso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Temos uma equação na forma:
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
Ela é exata se existir uma função $ F(x, y) $ tal que:
F(x, y)
Para verificar se a equação é exata, a gente compara as derivadas parciais de $ M $ em relação a $ y $ e de $ N $ em relação a $ x $. Ou seja, precisamos calcular $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $ e ver se são iguais.

Passo 3

Vamos identificar $ M $ e $ N $ na nossa equação:
M
N
Agora, vamos calcular as derivadas parciais:
Primeiro, $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
M(x, y) = y ln y - e^x
Agora, $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
N(x, y) = 1y + x ln y

Passo 4

Comparando as duas derivadas:
partial Mpartial y = ln y + 1
partial Npartial x = ln y
Vemos que $ \frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x} $ porque há um “+1” a mais em $ \frac{\partial M}{\partial y} $. Isso significa que a equação não é exata.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata porque $ \frac{\partial M}{\partial y} $ não é igual a $ \frac{\partial N}{\partial x} $. Portanto, não podemos resolver diretamente como uma equação exata.

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