Exercício 5. Calcule o gradiente da função (nabla f) no ponto dado:
f(x, y, z)=sen(x z)+y x^2, ponto (0,1,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o gradiente da função f(x,y,z)=sin(xz)+yx^2 no ponto (0,1,1). O conteúdo da matéria é derivadas parciais e gradiente, e vamos usar a definição de gradiente como vetor das derivadas parciais de f.

Passo 2

Vamos encontrar a derivada parcial de f em relação a x. Primeiro lembramos que sin(xz) derivada em relação a x é cos(xz) vezes a derivada de xz que é z. E a derivada de yx^2 em relação a x é 2xy. Assim:
partial fpartial x=cos(xz)cdot z + 2xy

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial de f em relação a y. Note que sin(xz) não depende de y, então sua derivada é zero. E a derivada de yx^2 em relação a y é x^2. Logo:
partial fpartial y=x^2

Passo 4

Em seguida, a derivada parcial de f em relação a z. A parte yx^2 não depende de z, fica zero, e de sin(xz) vem cos(xz) vezes a derivada de xz que é x. Assim:
partial fpartial z=cos(xz)cdot x

Passo 5

Por fim, avaliamos as três derivadas parciais no ponto (0,1,1):
partial fpartial x(0,1,1)=cos(0cdot1)cdot1 + 2cdot0cdot1=1,
partial fpartial y(0,1,1)=0^2=0,
partial fpartial z(0,1,1)=cos(0cdot1)cdot0=0
Assim obtemos o vetor gradiente no ponto.

Passo 6

O vetor gradiente no ponto (0,1,1) é formado por essas componentes parciais:
nabla f(0,1,1)=(1,0,0)

Resposta

nabla f(0,1,1)=(1,0,0)

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