Exercício 5. Calcule o gradiente da função
no ponto dado:
, ponto
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o gradiente da função
no ponto
. O conteúdo da matéria é derivadas parciais e gradiente, e vamos usar a definição de gradiente como vetor das derivadas parciais de
.
Passo 2
Vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Primeiro lembramos que
derivada em relação a
é
vezes a derivada de
que é
. E a derivada de
em relação a
é
. Assim:
Passo 3
Agora calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Note que
não depende de
, então sua derivada é zero. E a derivada de
em relação a
é
. Logo:
Passo 4
Em seguida, a derivada parcial de
em relação a
. A parte
não depende de
, fica zero, e de
vem
vezes a derivada de
que é
. Assim:
Passo 5
Por fim, avaliamos as três derivadas parciais no ponto
:
Assim obtemos o vetor gradiente no ponto.
Passo 6
O vetor gradiente no ponto
é formado por essas componentes parciais: