Calcule integralegral duplaD e^y-x d x d y sendo D a região plana limitada por: y-x=1 ; y-x=2 ; y=2 x e y=3 x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaD e^y - x,dx,dy sobre a região D limitada pelas retas y - x = 1, y - x = 2, y = 2x e y = 3x. O conteúdo envolvido é integrais duplas e mudança de variáveis para simplificar a integral.

Passo 2

Vamos usar a substituição
u = y - x, v = x,
que faz y = u + v. Como
partial(u,v)partial(x,y) = det ux & uy vx & vy = det -1 & 1 1 & 0 = -1 - 1 = -2,
então o jacobiano de (u,v)to(x,y) vale 1/2 em valor absoluto. Mas é mais simples notar que ao trocar de (x,y) para (u,v) temos
dx,dy = l|detpartial(x,y)partial(u,v)r|,du,dv = 1cdot du,dv,
simplesmente porque x=v e y=u+v dão jacobiano 1. A integral vira
integral duplaD e^y - x,dx,dy = integral duplaDuv e^u,du,dv

Passo 3

Agora determinamos os limites em (u,v):
u=1 u=2 (pelas retas $y-x=1$ e $y-x=2$), y=2xRightarrow u+v=2vRightarrow v=u,y=3xRightarrow u+v=3vRightarrow v=tfrac u2
Como u>0, temos v variando entre u/2 e u). Assim
Duv = (u,v):1<= u<=2,;u/2<= v<= u

Passo 4

Montamos e calculamos a integral iterada:
integral duplaDuv e^u,dv,du = integralu=1^2l(integralv=u/2^ue^u,dvr)du = integral1^2e^ul(u - tfrac u2r)du = tfrac12integral1^2u e^u,du
Para integral u e^u,du usamos integração por partes:
integral u e^u,du = u e^u - integral e^u,du = u e^u - e^u
Avaliando de 1 a 2:
l[ue^u - e^ur]1^2 = (2e^2 - e^2) - (1e^1 - e^1) = e^2 - 0 = e^2
Logo a integral vale
tfrac12 cdot e^2 = e^22

Resposta

e^22

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