Determinar os valores de
para os quais a EDO dada tem soluções da forma
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que tem a forma $ y = t^{r} $ para $ t > 0 $. A equação que a gente vai trabalhar é:
Para resolver isso, a gente vai substituir a solução proposta $ y = t^{r} $ na equação e encontrar os valores de $ r $ que fazem a equação ser verdadeira.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias da função $ y = t^{r} $.
A primeira derivada de $ y $ em relação a $ t $ é:
E a segunda derivada é:
Passo 3
Agora, vamos substituir $ y $, $ \frac{d y}{d t} $ e $ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} $ na equação original:
Vamos simplificar cada termo:
- $ 3 t^{2} \cdot r (r - 1) t^{r - 2} = 3 r (r - 1) t^{r} $
- $ 5 t \cdot r t^{r - 1} = 5 r t^{r} $
- $ t^{r} = t^{r} $
Passo 4
Substituindo de volta na equação, temos:
Fatorando $ t^{r} $:
Como $ t^{r} $ não é zero para $ t > 0 $, o que nos resta é resolver a equação:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a equação:
Agora, temos uma equação quadrática na forma $ a r^{2} + b r + c = 0 $, onde:
- $ a = 3 $
- $ b = 2 $
- $ c = 1 $
Passo 6
Para resolver a equação quadrática $ 3 r^{2} + 2 r + 1 = 0 $, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
Passo 7
Como a raiz quadrada de um número negativo envolve números imaginários, temos:
Substituindo de volta:
Resposta
Os valores de $ r $ são: