Determinar os valores de r para os quais a EDO dada tem soluções da forma y=t^r para t>0.
3 t^2 d^2 yd t^2+5 t d yd t+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que tem a forma $ y = t^{r} $ para $ t > 0 $. A equação que a gente vai trabalhar é:
y = t^r
Para resolver isso, a gente vai substituir a solução proposta $ y = t^{r} $ na equação e encontrar os valores de $ r $ que fazem a equação ser verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias da função $ y = t^{r} $.
A primeira derivada de $ y $ em relação a $ t $ é:
y = t^r
E a segunda derivada é:
y

Passo 3

Agora, vamos substituir $ y $, $ \frac{d y}{d t} $ e $ \frac{d^{2} y}{d t^{2}} $ na equação original:
y
Vamos simplificar cada termo:
  1. $ 3 t^{2} \cdot r (r - 1) t^{r - 2} = 3 r (r - 1) t^{r} $
  2. $ 5 t \cdot r t^{r - 1} = 5 r t^{r} $
  3. $ t^{r} = t^{r} $

Passo 4

Substituindo de volta na equação, temos:
3 r (r - 1) t^r + 5 r t^r + t^r = 0
Fatorando $ t^{r} $:
t^r
Como $ t^{r} $ não é zero para $ t > 0 $, o que nos resta é resolver a equação:
( 3 r (r - 1) + 5 r + 1 ) t^r = 0

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a equação:
3 r^2 - 3 r + 5 r + 1 = 0
3 r^2 + 2 r + 1 = 0
Agora, temos uma equação quadrática na forma $ a r^{2} + b r + c = 0 $, onde:
  • $ a = 3 $
  • $ b = 2 $
  • $ c = 1 $

Passo 6

Para resolver a equação quadrática $ 3 r^{2} + 2 r + 1 = 0 $, vamos usar a fórmula de Bhaskara:
3 r^2 + 2 r + 1 = 0
Substituindo os valores de $ a $, $ b $ e $ c $:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c 2 a
a
b

Passo 7

Como a raiz quadrada de um número negativo envolve números imaginários, temos:
raiz -8 = 2 raiz2 i
Substituindo de volta:
r = -2 pm 2 raiz2 i 6
r = -1 pm raiz2 i 3

Resposta

Os valores de $ r $ são:
r

Exercícios relacionados