integral e^x+e^-x2 d x

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral integral e^x+e^-x2,dx. O assunto é integração de funções exponenciais (ou, alternativamente, de funções hiperbólicas), e vamos usar propriedades básicas de antiderivadas.

Passo 2

Observação da função: note que tfrace^x+e^-x2 é exatamente a definição de cosh(x), a função cosseno hiperbólico. Sabemos da teoria que a derivada de sinh(x) é cosh(x). Portanto, uma escolha direta de antiderivada é sinh(x).

Passo 3

Integração termo a termo: se quisermos ver em detalhes, podemos quebrar em duas integrais:
integral e^x2,dx + integral e^-x2,dx

Passo 4

Calculando cada parte:
integral e^x2,dx = 12e^x,
integral e^-x2,dx = 12 integral e^-x,dx = 12(-e^-x) = -12e^-x
Somando os resultados e incluindo a constante de integração C, obtemos
12e^x - 12e^-x + C, que coincide com a expressão de sinh(x).

Resposta

sinh(x) + C

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