Calcule integralegral duplaR x cos ^2(y) d A, R=[-2,3] times[0, pi / 2].

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral dupla integral duplaR xcos^2(y)dA sobre o retângulo R=[-2,3]times[0,pi/2]. O conteúdo envolvido é integração de funções de duas variáveis em retângulos e a técnica de separação de variáveis em integrais duplas.

Passo 2

Para integrais duplas em regiões que são produto cartesiano, se a função é produto de uma parte que depende só de x e outra só de y, podemos escrever
integral duplaRxcos^2(y),dA=gl(integralx=-2^3x,dxgr)cdotgl(integraly=0^pi/2cos^2(y),dygr)

Passo 3

Primeiro, calculemos integral-2^3x,dx. A primitiva de x é x^2/2, logo:
integral-2^3x,dx=l[tfracx^22r]-2^3=3^22-(-2)^22=92-42=52

Passo 4

Agora, calculemos integral0^pi/2cos^2(y),dy. Usamos a identidade trigonométrica cos^2(y)=1+cos(2y)2. Assim:
integral0^pi/2cos^2(y),dy=integral0^pi/21+cos(2y)2,dy=12integral0^pi/21,dy+12integral0^pi/2cos(2y),dy

Passo 5

Calculando separadamente,
12integral0^pi/21,dy=12cdotpi2=pi4,12integral0^pi/2cos(2y),dy=12l[tfracsin(2y)2r]0^pi/2=12cdot0=0
Logo,
integral0^pi/2cos^2(y),dy=pi4

Passo 6

Finalmente, combinamos os resultados usando produto de integrais:
integral duplaRxcos^2(y),dA=52timespi4=5pi8

Resposta

tfrac5pi8

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