Nos Exercícios 9-28, determine a integral indefinida e confira o resultado por meio de derivação.
integral 3 x^2raiz1-x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral indefinida de 3x^2raiz1 - x^3 em relação a x. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente trabalhando com integrais que envolvem substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que ajuda a simplificar a integral transformando-a em uma forma mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Olhando para o denominador, temos raiz1 - x^3. Vamos chamar essa expressão de u:
u = 1 - x^3
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx na integral.

Passo 3

Calculando a derivada de u em relação a x:
dudx = -3x^2
Isso significa que:
du = -3x^2 dx
Queremos expressar x^2 dx em termos de du:
x^2 dx = -13 du

Passo 4

Agora, substituímos u e x^2 dx na integral original:
integral 3x^2raiz1 - x^3 dx = integral 3x^2raizu dx
Substituindo x^2 dx por -13 du:
integral 3x^2raizu dx = integral 3 cdot (-13 du)raizu = integral -duraizu

Passo 5

Simplificando a integral:
integral -duraizu = -integral u^-12 du
Agora, integramos u^-12:
-integral u^-12 du = -2u^12 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, voltamos à variável original substituindo u = 1 - x^3:
-2u^12 + C = -2raiz1 - x^3 + C

Resposta

A integral indefinida de 3x^2raiz1 - x^3 dx é:
-2raiz1 - x^3 + C

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